Тема 9.Дифференциальные уравнения.
Основные теоретические сведения.
1.
Общим
решением
дифференциального
уравнения
первого
порядка называется дифференцируемая
функция y=
(х,С),
которая при любом значении произвольной
постоянной С
является решением данного уравнения.
Решения, получающиеся из общего решения
y=
(х,С)
при определенном значении произвольной
постоянной С,
называются частными.
Задача нахождения частного решения,
удовлетворяющего начальным условиям
y=
при
(другая запись
),
называется
задачей
Коши.
График
всякого решения y=
(х)
данного дифференциального уравнения,
построенный на плоскости хОy,
называется интегральной
кривой
этого уравнения.
2.
Уравнение вида у′+А(х)у=В(х)
называется линейным.
Если В(х)=0,
то уравнение называется
однородным;
если В(х)
0
неоднородным.
Общее решение однородного уравнения
получается путем разделения переменных;
общее решение неоднородного уравнения
получается из общего решения
соответствующего однородного уравнения
с помощью вариации произвольной
постоянной интегрированияС.
Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены у=uv, где u, v – две неизвестные функции.
3.
Дифференциальное
уравнение
n–го
порядка,
разрешенное относительно производной,
имеет вид
=f(х,
у, у′,…,
).
Задача
нахождения решения у=
(х)
данного уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям
;
;
;
… ;
,
называетсязадачей
Коши.
Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.
4.
Теорема
существования и единственности решения
задачи Коши. Если
в уравнении
=f(х,
у,
у′,
… ,
)
функцияf(х,
у,
у′,…,
):
a)
непрерывна по всем своим аргументам х,
у,
у′,
… ,
в некоторой областиD
их изменения;
б)
имеет ограниченные в области D
частные производные
по аргументаму,
у′,
…
,
то найдется интервал
h<
х
<
+h
(h
>0)
,
на котором существует единственное
решение у=
(х)
данного уравнения, удовлетворяющее
условиям у(
)=
;у′(
)=
;
… ;
,
где значениях=
;у=
;у′=
;
… ;
содержатся в областиD.
Проинтегрировать ( в конечном виде ) уравнение n–го порядка можно только в некоторых частных случаях.
5.
Линейное
дифференциальное уравнение
второго
порядка с
постоянными
коэффициентами
имеет вид
,
где
числа,
причем
≠0.
Еслиf(х)=0,
то уравнение называется однородным,
а
если f(х)≠
0–неоднородным.
6.
Квадратное уравнение
называетсяхарактеристическим
уравнением
дифференциального уравнения
.
ПустьD=
дискриминант квадратного уравнения.
Возможны следующие случаи:
1)
D>0
– общим решением уравнения
является функция
(
и
корни
характеристического уравнения);
2)
D=0
– общим решением служит функция у=
(k–корень
характеристического уравнения);
3)
D<0–общим
решением является функция
(
корни
характеристического уравнения).
7. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме .
Теорема.
Если
некоторое
частное решение неоднородного уравнения
=f(х)
и
Y–общее
решение соответствующего однородного
уравнения
,
то общее решение неоднородного уравнения
имеет виду=Y+у*.
Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.
1)
Пусть f(х)=
;
тогда:
а)
у*=
,
если нуль не является корнем
характеристического уравнения;
б)
у*=
,
если нуль является простым корнем
характеристического уравнения;
в)
у*=
,
если нуль является двукратным корнем
характеристического уравнения.
2)
Пусть f(х)=
;
тогда:
а)
у*=
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения;
б)
у*=
,
если число
является корнем характеристического
уравнения;
в)
у*=
,
если число
является двукратным корнем
характеристического уравнения.
3)
Пусть f(х)=
;
тогда:
а)
у*=
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения;
б)
у*=
,
если число
является корнем характеристического
уравнения.
Пример
1. Найти
общее решение уравнения ху+
+ху′=0
и частное решение, удовлетворяющее
начальному условию у(1)=2.
Решение.
Перепишем
данное уравнение так:
и
рассмотрим однородное уравнение
х(у′+у)=0.
Так как х≠0
(значение х=0
не является решением неоднородного
уравнения ), то
общее
решение однородного уравнения.
Применяем
далее метод вариации произвольной
постоянной С.
Общее решение неоднородного уравнения
будем искать в виде у=С(х)
;
у′=С′(х)
.
Подставив значенияу
и у′
в неоднородное уравнение, получим
хС′(х)
хС(х)
+хС(х)
=
х
С(х)=
.
Так
как
≠0,
то
Подставив
это значение С(х)
в общее решение неоднородного уравнения,
получим у=(lnх+С)
общее
решение неоднородного уравнения.
Для
нахождения частного решения подставим
значения х=1,
у=2
в общее решение: у(1)=2
2=(0+С)
С=2.
Значит у=(lnх+2)
частное
решение неоднородного уравнения.
Пример
2.
Найти общее решение уравнения 2ху′′′=у′′
и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям у(1)=
;у′(1)=0;
у′′(1)=1.
Решение.
Пусть у′′=z.
Имеем 2хz′
z=0
Но
z=у′′
′′=
Следовательно,у=
общее
решение дифференциального уравнения.
Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для у, у′ и у′′ значение х=1:
;
=0;
Из
системы уравнений
находим
;
.
Значит, искомое частное решение имеет
вид:
Пример
3.
Найти общее решение уравнения
y′′
′+13у=5sin2х
и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
=
прих=0.
Решение.
Рассмотрим однородное уравнение
y′′
′+13у=0.
Соответствующее характеристическое
уравнение имеет вид
+4k+13=0,
откуда
Следовательно,Y=
общее решение однородного уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
у*=
.
Имеем:
(у*)′=
(у*)′′=
.
Подставим эти выражения в неоднородное уравнение
(9А+8В)cos2х+(
8А+9В)sin2х=5sin2х
и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
у*=
а общее решение неоднородного уравнения – вид
у=
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y=
+
Искомое частное решение таково:
