Тема 2. Элементы векторной алгебры.

Основные теоретические сведения.

1. Скалярным произведением двух векторов иназывается число, определяемое равенством

(1)

где угол между векторамии.

2. Косинус угла между векторами ивычисляется по формуле

(2)

3. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор , длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам итак, что векторы,, образуют правую тройку (рис. 1):

Рис.1

(3)

.

Геометрически равен площадипараллелограмма, построенного на векторахи:

.

4. Смешанное произведение трех векторов ,,есть число, равное

(4)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,, .

Пример 1. По координатам вершин пирамиды

найти: 1) длины ребери2) угол между ребрамии3) площадь грани4) объем пирамиды

Решение. 1) Находим векторы и

Длины этих векторов, т. е. длины ребер и, таковы:

;

2) Скалярное произведение векторов инаходим по формуле (1):

а косинус угла между ними–по формуле (2):

Отсюда следует, что тупой угол, равныйрад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрамии.

3) Площадь грани равна половине параллелограмма, построенного на векторахи, т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]:

Здесь определить вычисляется с помощью разложения по первой строке. Cледовательно,

4) Объем пирамиды равенобъема параллелепипеда, построенного на векторахВекторИспользуя формулу (4), получаем

Тема 3. Аналитическая геометрия.

Основные теоретические сведения.

Аналитическая геометрия на плоскости

1. Расстояние d между точками иопределяется по формуле:

. (1)

Уравнение прямой, проходящей через точки и, имеет вид:. (2)

Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых равныи, определяется по формуле:

(3)

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентомk направлении, имеет вид:

(4)

2. Кривые второго порядка.

В прямоугольной декартовой системе координат x0y кривая второго порядка задается уравнением второй степени

, (5)

где A, B, C, D, E, F- заданные действительные числа. При этом числа A, B, C одновременно не равны нулю. Уравнение (5) называется общим уравнением кривой второго порядка.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если известны расстояние между фокусами и эллипса, равное 2с, и сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов, равная 2а, то в прямоугольной декартовой системе координат, где ось 0x проходит через фокусы и (от к ), а начало координат находится посередине между ними, уравнение эллипса имеет вид:

,

который называется каноническим, числа а и bполуосями эллипса; а, b>Вид кривой показан на рис.2.

Рис. 2

При а=b эллипс представляет собой окружность радиусом а с центром в начале координат. Уравнение этой окружности

Эксцентриситетом эллипса называется число Для эксцентриситета эллипса справедливо неравенствопоскольку из определения эллипса следует, чтоЭксцентриситет окружности, поскольку для окружностиа=b и с=0.