- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры.
- •Тема 2. Элементы векторной алгебры.
- •Тема 3. Аналитическая геометрия.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Гипербола
- •Парабола
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых, заданных общим уравнением
- •Аналитическая геометрия в пространстве.
- •Тема 4. Комплексные числа.
- •Тема 5. Введение в анализ
- •Тема 6. Дифференциальное исчисления функций одной переменной.
- •4. Точки экстремума.
- •5. Точки перегиба.
- •6. Асимптоты.
- •7. Общая схема исследования функции.
- •Тема 7. Интегральное исчисления функций
- •Тема 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •5. Дифференцирование неявных функций.
- •Тема 9.Дифференциальные уравнения.
- •Тема 10. Ряды.
- •Тема 11. Элементы теории вероятностей.
- •Задания к выполнению контрольных работ.
- •Задачи для контрольных заданий.
- •Тема 5. Введение в анализ
- •Тема 6. Дифференциальное исчисления функций одной переменной.
- •Тема 7. Интегральное исчисления функций одной переменной.
- •Тема 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Тема 9.Дифференциальные уравнения.
- •Тема 10. Ряды.
- •Тема 11. Элементы теории вероятностей.
- •Список литературы
Гипербола
Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выбирая систему, координат так же, как и для эллипса, уравнение гиперболы можно записать в каноническом виде:
где число а называется действительной полуосью гиперболы, а число b–мнимой полуосью; а, b>
Прямые y=являются асимптотами гиперболы. Вид кривой показан на рис.3.
Рис.3
Эксцентриситет гиперболы гдеа–действительная полуось. Так как у гиперболы с>a, то ее эксцентриситет Величина эксцентриситета гиперболы определяет форму ее ветвей. При увеличении эксцентриситета увеличивается размах ветвей гиперболы.
Парабола
Параболой называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.
Пусть точка F–фокус параболы, а прямая l–ee директриса и задано расстояние между ними, равное p. В системе координат x0y, где ось 0x проходит через фокус F перпендикулярно директрисе l, а начало координат выбрано посередине между ними, уравнение параболы имеет вид
p>0.
Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рис.4.
Рис.4
Преобразование координат на плоскости. Построение кривых, заданных общим уравнением
Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением кривой второго порядка (1), то видно, что в них коэффициенты B=D=E=0. Если в этом уравнении ,илито чтобы привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее, необходимо сделать преобразование координат.
Если в уравнении (5) или, то центр симметрии эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в некоторой точкеСтроить кривую в данном случае удобно, перенеся начало координат в эту точку, то есть сделав замену
При такой замене в новой системе координат с началом в точке и осямииуравнение кривой будет иметь канонический вид.
Приведем уравнения различных прямых:
1. Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
2. Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
здесь вершины в точках (а; 0) и (; 0);
здесь вершины в точках (0; b) и (0; ).
3. Уравнение параболы с вершиной в точке
ось симметрии параллельна Оx;
ось симметрии параллельна .
Знак показывает направление ветвей параболы. Если в уравнении знак, то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы, а если, то направление ветвей противоположно направлению оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: А(;8),B(5;),C(10;6). Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину.
Решение: 1. Подставив в формулу (1) координаты точек А и В, имеем:
2. Подставив координаты точек А и В в формулу (2), получим уравнение прямой АВ:
3y=x, 4x+3y=0 (AB).
Для нахождения углового коэффициента прямойАВ разрешим полученное уравнение относительно y: y=Отсюда=Найдем уравнение прямойАС:
х+7y–5 =0 (AC).
Отсюда =
3. Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее ==
1=рад.
4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентомk направлении, имеет вид:
Подставив координаты точки С и получим уравнение высотыCD:
(CD).
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
откуда x=2, y=0, то есть D(2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением приведя его к каноническому виду.
Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:
;
Получим уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси. Перенеся начало координат в точку, получим в системе координатуравнение
где параметр р определяется из условия 2р=6, или р=3.
Парабола симметрична относительно оси или относительно прямойx=.
Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на Поскольку из уравнения следует, чтото ветви параболы направлены вниз и фокусF лежит на ниже вершины, то есть его координаты.
Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины. Учитывая все это, можно записать уравнение директрисыy=0,5+1,5, или y=2. Кривая приведена на рис.5.
Рис.5
Если в уравнении (5) то оси симметрии кривой не параллельны координатным осям. Чтобы получить каноническое уравнение кривой, необходимо повернуть систему координат.