10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.
Если 
(16)
то
(17)
где
- любая дифференцируемая
функция от х. Формула
(17) получается из формулы (16) путем
формальной замены х
на u,
она дает возможность значительно
расширить таблицу простейших интегралов.
На ее основании получаем:
(5)'
(11)'
(6)'
(12)'
(7)'
(13)'
(8)'
(14)'
(9)'
(15)'
(10)'
При пользовании формулами (5') — (15') необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:
1.
,
гдеb– постоянная
величина.5.
2.
,
где постоянная
.6.
3.
7.
4.
В общем случае
1.Найти неопределенный интеграл
На основании преобразования 3 дифференциала
имеем
Применяя формулу
для случая, когда
находим
2. Найти интеграл
3. Найти интеграл
10.4. Метод подстановки.
Интегрирование путем введения новой
переменной (метод подстановки) основан
на формуле
,
где
– дифференцируемая функция переменнойt.
1. Найти интеграл
.
Положим
,
тогда2xdx = dt,
. Подставляя полученные значения в
подынтегральное выражение, получим
.
Этот пример можно решить и по-другому (см §2):
.
2.Найти интеграл
.
Положим
,
откуда
,
,
Следовательно,
.
3.Найти интеграл
.
Положим
,
откуда
,
Таким образом,
.
Тот же результат можно получить непосредственно (см §2):
.
4. Найти интеграл
подстановкой
.
Из подстановки
следует, что
;
;
,
а поэтому подынтегральное выражение
;
.
Подставляя сюда
,
окончательно получим
.
Следует иметь в виду, что за счет тождественного преобразования ответа, а также в связи с возможностью представить произвольную постоянную интегрирования в разных видах ответы при вычислении неопределенных интегралов могут получаться различные.
Используя указанные замены переменной, найти интегралы:
10.21.
.10.22.
.10.23
.10.24.
.10.25.
.10.26.
.
10.27.
.
Найти интегралы:
10.28.
10.29.
10.30.
10.31
10.32.
10.33.
10.34.
10.35.
10.36
10.37.
10.38.
10.39
10.40.
10.41.
10.42.
10.43.
10.44.
10.45.
10.46.
10.47.
10.48.
10.49.
10.50.
10.51.
10.52.
10.53.
10.54.
10.55.
10.56.
10.57.
10.58.
10.59.
10.60.
10.61.
10.62.
10.63.
10.64.
10.65.
10.66.
10.67.
10.68.
10.69.
10.70.
10.71.
10.72.
10.5. Метод интегрирования по частям.
Если
,
-дифференцируемые функции отx,
то из формулы для дифференциала
произведения двух функций
получается формула интегрирования по частям
.(18)
Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.
В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качествеdv – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащаяdx,из которой можно определитьvпутем интегрирования.
В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула (18)применяется несколько раз. Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.
1.Найти
.
Обозначим: x = u, sinx dx = dv.
Для применения формулы (18)необходимо
знать ещеvиdu.
Дифференцируя равенствоx
= u, получаемdx
= du. Интегрируя
равенство
,
определяем
.
Подставляя значения u, v, du, dvв формулу(18)находим
.
2.Найти
.
Полагая
,
,
получаем
,
.
Следовательно,
.(А)
Полученный интеграл снова находится интегрированием по частям (пример 1). Его можно найти и не вводя явно uиv. Имеем
.
Подставляя это выражение для интеграла в формулу (А), находим
где
.
3. Найти
.
Положим
,
,
отсюда
,
.
Применяя формулу (18), получаем
.(В)
К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям, не вводя явно uиv. Имеем
.
Подставляя найденное выражение в формулу (В), находим
,
откуда
.
Следовательно,
Найти интегралы:
10.75.
10.76.
10.77.
10.78.
10.79.
10.80.
10.81.
10.82.
10.83.
10.84.
10.85.
10.86.
10.87.
10.88
10.89
10.90.
10.91.
10.92.
10.93.
10.94.
10.95.
10.96.
10.97.
10.98.
10.99.
10.100.
10.101.
10.102.
10.103.
10.104.