9.7.9.8.
9.9.
Найти дифференциалы первого порядка функций и вычислить их значения при заданных xи ∆x:
9.10.
9.11.
9.12.
Найти дифференциалы первого порядка функций:
9.13.
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
9.31.
9.32.
Найти дифференциалы второго порядка функций:
9.33.
9.34.
9.35.
9.36.
9.37.
9.38.
9.39.
9.40.
Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить:
9.41.е0,2.9.42. ln 1,02. 9.43. 170,25.
9.44. arcsin 0,54. 9.45. 1.021/3. 9.46. cos 151o.
9.47. sin 29o. 9.48.arctg1,05.9.49.lg11.
9.50.Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.
9.51.Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.
Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.
10.1.Неопределенный интеграл. Краткая теория
Первообразной функцией
для функции
называется такая функция
,
производная которой
равна данной функции, т.е.
.
Неопределенным интегралом
от непрерывной функции
или от дифференциального выражения
называется общее
выражение для всех первообразных
функций
.Обозначение:
(1)
где
.Функция
называется подынтегральной
функцией, а
выражение
- подынтегральным
выражением.
Свойства неопределенного интеграла.
1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.(2)
2.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной:
.(3)
3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
(4)
4.Неопределенный интеграл от алгебраический суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
Таблица простейших неопределенных интегралов
(5)
(10)
(5а)
(11)
(5б)
(12)
(6)
(13)
(7)
(14)
(8)
(15)
(9)
10.2. Интегрирование разложением.
Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла.
Если
то
1. Найти интеграл
2.Найти интеграл
.
Раскрывая скобки и пользуясь формулой (5) для случая, когда m– отрицательное число, находим
3. Найти
интеграл
Для вычисления интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе на знаменатель. Если это выполнить, получим:
4.
Найти интеграл
Прибавляя и вычитая единицу
из
,
получаем:
5. Найти интеграл
Так как
то
Используя метод разложения, найти интегралы:
10.2.
.10.3.
.10.4.
.
10.5.
.10.6.
.10.7.
.
10.8.
.10.9.
.10.10.
.
10.11.
.
10.12.
.10.13.
.
10.14.
.10.15.
.10.16.
.