Глава 8.
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Краткая теория
Теорема Ролля.Пусть функция y=ƒ(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a,b];
дифференцируема на интервале (a,b);
на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ƒ(a) = ƒ(b).
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ
(a,b),
в которой производная равна нулю: ƒ′(ξ)
= 0.
Теорема Лагранжа.Пусть функция y = ƒ(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a,b];
дифференцируема на интервале (a,b).
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ
(a,b),
в которой выполняется равенство:
ƒ′(ξ) =
.(8.1)
8.1.Выяснить, может ли быть применена
теорема Лагранжа для функции
+
на отрезке:
а)
;б)
;в)
.
Решение.
а) Функция не является непрерывной
в точкеx= 0
,
поэтому на данном отрезке теорема
Лагранжа неприменима.
б)y′ =
.
Производная не существует в точкеx= 1
,
поэтому на этом отрезке теорема Лагранжа
также не может быть применима.
в) на отрезке
оба условия теоремы Лагранжа выполнены,
так что теорема применима.
Замечание. Если теорема Лагранжа не применима на отрезке [a,b], то это не означает, что в нем не может быть точки ξ, удовлетворяющей равенству (8.1).
8.2. Указать хотя бы одно значениеa,
при котором функцияy=
имеет на интервале (0;
)
точку, в которой производная обращается
в нуль.
Решение.Очевидно, функция непрерывна
на отрезке [0;
]
и дифференцируема в интервале (0;
).
Если при этом окажется, что ƒ(0) = ƒ(
),
то требуемая точка будет существовать
по теореме Ролля. Таким образом, если
выполняется равенство
e0 +acos0
=e
+acos
,
то условие задачи будет выполнено.
Рассматривая это равенство как уравнение
относительноa,
получаемa =
-1.
Отметим, что найденное значение a, безусловно, не единственное, при котором условие задачи выполняется.
8.3. Найти все значенияa,
при которых функцияy= (1+a2)
удовлетворяет условиюy′
≤ 2 при всехx
(0;1).
Решение.Так как функция непрерывна
на отрезке [0;1] и дифференцируема в
интервале (0;1), то существует точка
ξ
(0;1)
такая, что ƒ′(ξ) = ƒ(1)-ƒ(0) =
= 2(1 + a2) + 2-(1 +a2) = 3+a2 ≥3, при любых значенияхa. Таким образом, ни при каких значенияха условие задачи выполняться не может.
8.4. Функцияy=
равна 1 приx =1 иx
=-1, ноy′ ≠ 0 для
всехx
(-1;1).
Выяснить, противоречит ли это условиям
теоремы Ролля?
8.5. Выяснить, применима ли для функцииу =
+
на промежутке [-2;-1]:
а) теорема Ролля;б) теорема Лагранжа.
8.7. Дифференцируемая при всех значенияхх функцияу = ƒ(х) удовлетворяет условиям ƒ(2) = 5, ƒ(4) = 3. Для какого значенияа уравнение ƒ′(х) =а заведомо имеет решение?
8.8. Функцияу = ƒ(х) имеет
производную, равнуюу′ = 2 +
+sin(2х + 3). Может ли
выполняться равенство ƒ(1)- ƒ(0) =sinα?
8.2. Правило Лопиталя Краткая теория
1. Теорема( правило Лопиталя).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных ( конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:
=
.(8.2)
Таким образом, правило Лопиталя
используется для раскрытия неопределенностей
вида
или
.
2. Правило Лопиталя можно применять
также и для раскрытия неопределенностей
вида [0·∞]. Для этого произведениеf(x)g(x)
следует записать в виде
или
и получить неопределенность вида
или
.
3.Если имеется неопределенность вида00или∞0, при вычислении предела функцииf(x)g(x), то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида [0·∞]. При этом используется соотношение (полученное на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции):
.
8.9. Найти
.
Решение.Так как в данном случае
имеется неопределенность вида
,
можно применить правило Лопиталя(8.2):
=
=
=
.
8.10.Найти
Решение.Имеет место неопределенность
вида
.
Применяя правило Лопиталя(8.2),
получаем:
Как видим, неопределенность вида
остается. Применим правило Лопиталя
еще раз.
Найти предел
.
Решение.Имеем неопределенность вида∞0. найдем
.
По формуле (8.3)
.
8.13. Найти предел
Решение.Так как при
,
то
.
Таким образом, имеем неопределенность
вида
.
Сведем ее к неопределенности вида
и применим правило Лопиталя(8.2):
=
.
8.14. Найти предел
.
Решение.Имеем неопределенность
вида
.
Преобразуем искомый предел
и найдем отдельно предел
,
используя правило Лопиталя(8.2):
.
Таким образом,
.
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
8.15.
.8.16.
.8.17.
.
8.18.
.8.19.
.8.20.
8.21.
.8.22.
.8.23.
.
8.24.
.8.25.
.8.26.
.
8.27.
.8.28.
.8.29.
.
8.30.
.8.31.
.8.32.
.
8.33.
.8.34.
.