Практикум по механике и молекулярной физике

ет совершать упругие (крутильные) колебания около вертикальной оси. Таким образом, для нашего случая уравнение движения следует записать в

виде: M = J d 2ϕ ,, где J – момент инерции груза относительно оси вращения;

dt2

– угол поворота, d 2ϕ – угловое ускорение груза и M – результирующий

dt 2

момент действия сил. Выразив результирующий момент сил через действующие силы, а угол поворота через смещение х указателя ( = x/ℓ , где ℓ – длина указателя, т.е. расстояние от нити до шкалы), мы получим дифференциальное уравнение, аналогичное (4). Поэтому все дальнейшие рассуждения, приведенные в разделе 3 «Затухающие колебания я», справедливы для данного случая.

Для того чтобы можно было груз приводить в крутильные колебания, не сообщая ему одновременно маятникообразных колебаний, верхний конец нити прикреплен к горизонтальной шайбе 4, которая может вращаться межу упорами 5. Шайба 5 может поворачиваться во втулке кронштейна 6 и фиксироваться винтом 7, напротив груза 2 размещены осветитель 8 и горизонтальная шкала 9.

Выполнение работы

Включить осветитель. Лучи, выходящие из осветителя, попадают на зеркальце и, отражаясь от него, попадают на шкалу. Немного отвернув винт 7 и медленно вращая шайбу 5, установить зайчик на нулевую отметку шкалы и завинтить винт 7. При этом необходимо следить, чтобы шайба 4 своим выступом была прижата к одному из упоров шайбы 5. Чтобы придать грузу крутильные колебания, необходимо повернуть шайбу 4 на некоторый угол и вернуть ее в первоначальное положение.

1. Измеряя с помощью секундомера не менее трех раз продолжительность t 10–15 полных колебаний n, определить период колебаний Т по формуле Т = t/n. Данные занести в табл. 1.

Таблица 1

1

2

3

Ср

Примечание. Если после прекращения колебаний окажется, что зайчик несколько отошел от нулевой отметки, его новое положение принимается за нулевое и отсчеты ведутся с соответствующей поправкой.

2. Сообщить системе крутильные колебания и измерить ряд ( не менее 10) последовательных амплитуд по ту и другую сторону от нулевой отметки при-

31

числе полных колебаний маятника. Одновременно электронный секундомер ведет отсчет времени и результат фиксируется на световом индикаторе 12. Зная число колебаний маятника и время, за которое они совершаются, можно определить период колебаний маятника.

Выполнение работы

Проверьте, заземлен ли прибор. Ослабив винт 10, воротком 9 установите необходимую длину маятника так, чтобы при колебаниях маятника его поводок все время находился в жидкости. Затяните винт 10. Ножками 2 выровняйте прибор, следя за тем, чтобы во время колебаний шарик не касался стенок ванночки.

Включите сетевой шнур в сеть 220 В. Нажмите кнопку «СЕТЬ». При этом должна загореться лампочка фотоэлектрического датчика, а все индикаторы показывать цифру нуль. Прибор готов к работе.

Отклонив маятник на 7–8º, определите период Т его колебаний. Для этого, когда маятник начнет совершать гармонические колебания, нажмите на кнопку «СБРОС» и после 10–15 полных колебаний нажмите на кнопку «СТОП». На световых индикаторах будут зафиксированы число полных колебаний n и их продолжительность t. По формуле T = t/n определите период колебаний математического маятника. Это упражнение проделайте не менее трех раз и данные занесите в табл. 1.

Таблица 1

Отклонив маятник примерно на тот же угол, что и в предыдущем упражнении, измерьте ряд (не менее десяти) последовательных амплитуд по ту и другую сторону от нулевой отметки шкалы прибора. По формуле (8) вычислите ряд значений декремента затухания D и данные занесите в табл. 2.

Таблица 2

рифмического декремента затухания системы Qср = lnDср

33

По формуле (9) определите среднее значение коэффициента затухания βср. Значение величины Тср берется из предыдущего упражнения.

По имеющимся экспериментальным данным оцените относительную погрешность определения логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.

Контрольные вопросы.

1.Какое колебание называется гармоническим?

2.Запишите уравнение движения незатухающих гармонических колебаний и его решение.

3.Запишите и объясните уравнение движения затухающих колебаний.

4.Являются ли затухающие колебания периодической функцией?

5.Каков физический смысл коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания?

6.От чего зависит коэффициент затухания, декремент затухания?

7.Изменяется ли период колебаний при наличии сил сопротивления?

РАБОТА № 4 ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, набор дополнительных грузиков.

образом с местоположением тела (положением его центра тяжести) и направлением в сторону тела (рис. 1). С течением времени вместе с движением тела меняется в общем случае длина и ориентация в пространстве.

Совокупность точек, соответствующих положениям конца векторов r(t) в различные моменты времени, называется траекторией движения тела. Скоростью движения тела называется векторная величина

Ускорением тела называется величина

34

Машина Атвуда представляет собой стой-

ку 1, в верхней части которой на ось 2 насажен

легкий блок 3. Исследуемая механическая систе-

ма – это два тела 4 одинаковой массы m , под-

вешенные к концам нити, переброшенной через

блок. На правое тело устанавливается небольшой дополнительный грузик 5 массы m1, под действием которого система начинает двигаться равноускоренно с ускорением а. Ускорение связано

со скоростью, приобретаемой на пути S (рас-

стояние между верхним 6 и средним 7 крон-

Рис. 3

35

штейнами), соотношением (5). Для измерения пути на стойке имеется миллиметровая шкала 8.

Определение скорости производится следующим образом. На среднем 7 и нижнем 9 кронштейнах установки расположены фотоэлектрические датчики. При пересечении светового луча движущимся телом сигнал первого датчика включает электронный секундомер, а сигнал второго датчика выключает его. На индикаторе секундомера 10 высвечивается время t прохождения системой пути S1 – расстояния между средним и нижним кронштейнами. Средний кронштейн имеет кольцо 11, которое снимает дополнительный грузик. Поэтому на участке пути S1 система движется рав-

Из формул (5) и (9) ускорение системы на первом участке пути S можно выразить через величины, которые измеряются в работе:

Согласно соотношению(8), полученному на основании второго закона Ньютона, ускорение a пропорционально действующей на систему силе F = m1g, т. е. силе тяжести дополнительного грузика. Поэтому, измерив ускорение а при различных значениях m1, можно проверить справедливость второго закона Ньютона F = (2m + m1)а и сравнить ускорение, найденное в работе с помощью соотношения (10), с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (8). Трением в блоке, его инертностью и сопротивлением воздуха при этом пренебрегают.

Выполнение работы

1.Имеющимися внизу регулируемыми ножками выровняйте прибор так, чтобы правое тело свободно проходило через крыльцо. Включите сетевой шнур в сеть 220 В. Нажмите кнопку «СЕТЬ». При этом загораются лампочки фотоэлектрических датчиков и индикатор измерителя времени показывает цифры нуль. Прибор готов к работе.

2.При утопленной кнопке «ПУСК» переместите правое тело в верхнее положение так, чтобы нижняя грань этого тела совместилась с чертой на верхнем кронштейне. Отожмите кнопку «ПУСК», и система будет удерживаться в исходном положении электромагнитным тормозом.

3.Поместите на правое тело один из дополнительных грузиков. Нажмите кнопку «ПУСК», при этом система приходит в движение. После прекращения движения с индикатора считывается время t. Нажмите кнопку «СБРОС» и проделайте данное упражнение с другим дополнительным

грузиком. Значения S и m1, при которых проводятся измерения, указываются преподавателем. Измерения с каждым из дополнительных грузиков

36

проводятся не менее пяти раз, на основании чего определяется среднее значение tср для каждого грузика (масса m1 указана на грузиках). Результаты измерений оформляются в виде таблицы.

4.Постройте графическую зависимость ускорения а системы от действующей на нее силы m1g.

5.На основании найденного в эксперименте значения а и известных масс m и m1 определите из соотношения (8) ускорение свободного падения g.

6.При данной величине массы дополнительного груза m1 постройте зависимость V2 от S. Масса каждого тела m = 60,6 г.

Контрольные вопросы

1.Выведите формулы (5) и (8) из законов кинематики и динамики равноускоренного движения.

2.При каких упрощающих предположениях проводится проверка законов кинематики и динамики на машине Атвуда?

3.Объяснить, как при движении системы тел на машине Атвуда проявляется действие всех трех законов Ньютона.

4.Под действием какой силы тела на машине Атвуда движутся ускоренно? Почему их ускорение меньше ускорения свободного падения?

5.Как на машине Атвуда измеряется мгновенная скорость ускоренно движущегося тела?

5.ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.Угловая скорость и угловое ускорение

Любое твердое тело можно рассматривать как систему материаль-

ных точек, причем масса m тела равна сумме масс этих точек:

n

m = ∑ mi. (1) i=1

Каждая из этих материальных точек при вращении тела имеет траекторию движения в виде окружности, центрG которой лежит на оси враще-

ния. Очевидно, что линейная скорость vi каждой i-й точки зависит от расстояния rGi до оси вращения и поэтому она не может служить кинематиче-

ской характеристикой вращательного движения твердого тела. Равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать

угловой скоростью. Под угловой скоростью понимается векторная вели-

JG

чина ω, численное значение ω которой равно отношению угла поворота ϕ

к промежутку времени t , за который этот поворот

37

Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с) или с–1.

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие вектора углового ускорения β . Вектор углового ускорения в каждый момент

времени равен скорости изменения вектора угловой скорости:

2. Момент силы и момент инерции

ное движение, пригодна не всякая внешняя сила. Эта сила должна обладать

38

вращающим моментом относительно данной оси, а направление силы не должно быть параллельным данной оси или пересекаться с ней. Подействуем

на тело силой F . Вращение тела будет определяться моментом силы M относительно оси вращения:

где r – радиус-вектор, проведенный из центра окружности вращения в точку приложения силы F . Из векторного произведения (6) следует, что вектор момента силы M направлен перпендикулярно плоскости, в которой

лежат векторы r и F , т. е. в соответствии с правилом буравчика. Численное значение момента силы определяется выражением:

h = r sinα, равная расстоянию от оси вращения до направления действия

силы F , называется плечом силы относительно этой оси. Следовательно, момент силы численно равен произведению силы на плечо:

рое может вращаться вокруг неподвижной оси OO′, как систему материальных точек mi (рис. 4). Очевидно, что каждая точка mi будет находиться

на определенном расстоянии ri до оси вращения. Величина Ji =miri2 , чис-

ленно равная произведению массы точки mi на квадрат ее расстояния до оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси

39

вращения. Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело, т. е.:

Физический смысл момента инерции J состоит в том, что при вращательном движении инерция тела определяется не только величиной массы, но и распределением этой массы относительно неподвижной оси вращения.

На рис. 5 приведены формулы моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести (ось симметрии).

3. Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

т. е. угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы, действующей на тело и обратно пропорционально моменту инерции тела. Этот за-

кон аналогичен основному закону динамики для поступательного движе-

ния (второму закону Ньютона): a = mF . При вращении тела аналогично по-

нятию импульса тела для поступательного движения ( p = mv ) вводят по-

n

движения ∑mi vi = const при вращательном движении действует закон

где Ji и ωi – моменты инерции и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему. Он гласит, что в изолированной системе (т. е.

момент внешних сил M = 0 ) сумма моментов импульса всех тел есть величина постоянная.

Для изолированной системы, состоящей из одного вращающегося

тела, закон сохранения (12) запишется в виде: Iω = const . (13) 5. Как известно, кинетическая энергия поступательно движущегося тела

определяется уравнением WK = 12 mv2 . Аналогично этому выражению ки-

нетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, опреде-

40