matmod

Л.5. Построение математической модели

8. Задачи на экстремум с конечным числом степеней свободы

Два класса задач на экстремум:

задачи с конечным числом степеней свободы, для которых искомыми являются точка экстремума и экстремальное значение функции конечного числа аргументов

f (x) → min, a ≤ x ≤ b

задачи на экстремум функционала, в которых искомой является

функция (обычно говорят о целевом функционале).

Z b

f (y) = F (x, y(x), y′(x))dx → min, y(a) = ya, y(b) = yb

a

2014 61 / 74

Л.5. Построение математической модели

Метод наискорейшего спуска

f (x, y, z) → min

Функция f определена при всех значениях своих аргументов и непрерывна вместе со своими частными производными.

−gradf = − f = (−fx′(x, y, z), −fy′(x, y, z), −fz′(x, y, z))

f0(t) = f (x0 − k0fx′(x0, y0, z0)t, y0 − k0fy′(x0, y0, z0)t, z0 − k0fz′(x0, y0, z0)t) M0(x0, y0, z0) = f0(t) = M1(x1, y1, z1)

В точке M1 функция f минимальна вдоль линии (прямой) наискорейшего спуска, определенной в точке M0.

fi (t) = f (xi − ki fx′(xi , yi , zi )t, yi − ki fy′(xi , yi , zi )t, zi − ki fz′(xi , yi , zi )t) Mi (xi , yi , zi ) = fi (t) = Mi+1(xi+1, yi+1, zi+1)

Л.5. Построение математической модели

Применяются другие методы спуска: покоординатный спуск, спуск по случайным направлениям и др. Направление спуска может непрерывно подправляться:

xi+1 = xi − ki fx′(xi , yi , zi )h

Функция f может иметь несколько локальных минимумов. Неформальные обсуждения и прикидки, позволяющие хотя бы грубо нащупать искомую точку, весьма желательны.

Если задача на минимум содержит параметр, то можно, найдя точку минимума при некотором начальном значении параметра, последовательно ее перестраивать, совершая шаги по параметру.

Л.5. Построение математической модели

Задачи на условный экстремум

Аргументы целевой функции связаны конечными уравнениями (связями), причем число независимых связей должно быть меньше числа аргументов.

f (x, y, z) → min, g(x, y, z) = 0.

Одна связь, 3 − 1 = 2 степени свободы.

Наиболее благоприятен случай, когда совокупность уравнений связи можно заменить эквивалентным параметрическим представлением аргументов.

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

Тогда рассматриваемая задача сведется к задаче на безусловный минимум

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) → min

Л.5. Построение математической модели

Экстремум с ограничениями

Задачи, в которых аргументы целевой функции связаны конечными неравенствами (высвобождающими связями), число которых может быть любым.

f (x, y, z) → min

Пусть V – область пространства, определенная неравенствами:

Пока (*) – строгие, используется градиентный метод в простейшем варианте, M0 → f0(t) → M1.

Пусть первое неравенство нарушилось (точка M1 вышла из V ). Необходимо спроецировать точку M1(x1, y 1, z1, ) на поверхность h1(x, y, z) = 0:

h1(x1 + h1′ x (M0)t, y1 + h1′ y (M0)t, z1 + h1′ z (M0)t) = 0.

2014 65 / 74

Л.5. Построение математической модели

f (x, y, z) → min

Пока вектор − f направлен из (V ) (что распознается по знаку h1), производим проецирование точек на h1 = 0.

Если через какое-то число шагов вектор − f направлен внутрь (V ), то связь снимается.

Если при спуске по поверхности h1 = 0, приходим к точке, где и второе неравенство (*) нарушено, то надо спроецировать на ребро {h1 = 0, h2 = 0} и в дальнейшем в соответствии с направлением − f спускаться либо по этому ребру, либо по примыкающим к нему граням (h1 = 0 и h2 = 0).

Для выбора имеется алгоритм, определяемый теоремой Куна-Таккера (нелинейное программирование).

Л.5. Построение математической модели

Некоторые классы задач на экстремум с ограничениями:

Задача линейного программирования: целевая функция является линейной, равно как и все уравнения и неравенства, связывающие ее аргументы.

Задача линейного целочисленного программирования: аргументы целевой функции по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения.

Задача выпуклого программирования: целевая функция и левые части высвобождающих связей, записанных по образцу (*), являются выпуклыми функциями, а все невысвобождающие связи линейные.

Задача выпуклого программирования, для которой целевая функция квадратична, а высвобождающие связи линейны, называется задачей квадратичного программирования.

Л.5. Построение математической модели

Класс задач, в которых используется метод динамического программирования

Пусть состояние некоторого объекта характеризуется величиной x (непрерывной или дискретной) и этот объект надо перевести из заданного состояния x0 в момент t0 в заданное состояние xN в момент tN , подобрав для этого промежуточные состояния x1, x2, . . . , xN−1 в моменты t1, t2, . . . tN−1.

Пусть при этом известна стоимость fi (x, y) перевода объекта из состояния x в момент ti в состояние y в момент ti+1.

Задача состоит в том, чтобы минимизировать общую сумму затрат:

f0(x0, x1) + f1(x1, x2) + · · · + fN−1(xN−1, xN ) → min .

Л.5. Построение математической модели

9. Задачи на экстремум с искомой функцией

функционал(функция) → min

Пример: задача о кривой наибыстрейшего спуска (Галилей).

Среди всех кривых, лежащих в плоскости x, y и имеющих заданные концы A(a, h), B(b, 0), найти такую, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, материальная точка, отправляясь из A без начальной скорости, достигнет B за минимально возможное время.

Л.5. Построение математической модели

Задача на условный экстремум (изопериметрическая)

Z b

f (y) = F (x, y(x), y′(x))dx → min, y(a) = ya, y(b) = yb,

a

Z b

g(y) = G (x, y(x), y′(x))dx = 0.

a

Пример: среди всех линий заданной длины на плоскости найти такую, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.