matmod

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Общность натурного и компьютерного экспериментов:

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Множественность и единство моделей

Реальный объект может иметь несколько неравносильных математических моделей.

Это связано как с необходимостью исследования различных систем S1, S2, . . . его свойств, так и с выбором типа модели.

Построение различных моделей одного и того же объекта может иметь целью различную точность, детализацию его свойств.

Пример 2. Груз на пружине (пример 1) с учетом вязкого трения.

f – (малый) коэффициент трения.

m d2x + f dx + kx = 0 dt2 dt

Различные изменения мат. модели возможны и после формулирования содержательной модели.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Обратная картина: различные реальные объекты или различные содержательные модели могут иметь одну и ту же математическую модель.

Пример 3.

Сила j = j(t) электрического тока в замкнутом контуре с сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью C удовлетворяет уравнению

То же уравнение при другом смысле букв описывает разнообразные осцилляторы иной природы.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Требование адекватности математической модели

Требование правильного соответствия изучаемому реальному объекту A относительно выбранной системы S его свойств:

1)правильное качественное описание рассматриваемых свойств объекта;

2)правильное количественное описание этих свойств с некоторой разумной точностью.

Всоответствии с тем, ставится условие 2) или нет, говорят соответственно о количественных или качественных моделях. Вместо количественной адекватности говорят также о точности модели.

Вопрос: По отношению к каким свойствам являются адекватными/неадекватными модели из примеров 1 и 2?

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Пример 4.

Задача о распространении тепла в твердом теле, материал которого однороден и изотропен.

Уравнение теплопроводности:

∂θ∂t = a 2θ,

θ – температура, t – время, a – коэффициент температуропроводности

Модель адекватна количественно и в качественно по отношению к таким свойствам как эволюция температуры, сохранение количества тепла и выравнивание температуры при t → ∞, невозможность температурных всплесков и т.д.

С другой стороны из уравнения вытекает вывод о бесконечной скорости распространения тепла.

Всякая адекватность математической модели реальному объекту относительна и имеет свои рамки применимости.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Требование достаточной простоты

Если ориентироваться на требование адекватности, то следует предпочитать сложные модели простым.

В примере 2 значение частоты колебаний учитывает малое трение:

Чрезмерное усложнение модели может привести к громоздким системам уравнений, не поддающимся изучению и решению.

Модель является достаточно простой, если современные средства исследования дают возможность провести экономию по затратам труда и средств, но с разумной точностью качественный или количественный анализ исследуемых свойств и осмыслить результат.

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Полнота модели Модель должна давать принципиальную возможность с помощью

математических методов получить интересующие нас утверждения.

Продуктивность модели

Требование состоит в возможности действительного получения (задания) исходных данных модели (задаваемые параметры и зависимости). Если речь идет об измерении, то исходные данные должны легче поддаваться измерению, чем получаемые.

прикладная значимость модели.

Л.2. Типы математических моделей

Лекция 2. Типы математических моделей

Л.2. Типы математических моделей

Структурные и функциональные модели.

Если (обычно) в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; то такая модель называется структурной.

Если модель отражает только то, как объект функционирует, то она называется функциональной или, образно, черным ящиком.

Возможны и модели комбинированного типа.

Л.2. Типы математических моделей

Пример 1. Платформа, столкнувшись со стенкой, откатывается назад. (m2 m1.) Нас интересует зависимость амплитуды A колебаний груза после взаимодействия платформы со стенкой от скорости v накатывания платформы.

Будем отсчитывать время t от момента столкновения и обозначим буквой время взаимодействия платформы со стенкой.

x1(t) и x2(t) – соответственно координаты платформы и груза относительно платформы, отсчитываемые от их положений при t = 0.