matmod

Л.3. Типы математических моделей

Детерминированные и вероятностные модели

Другие типы моделей

Математическая модель может включать случайные компоненты – случайные скалярные или векторные величины, случайные последовательности или функции, случайные структуры и т.п., удовлетворяющие статистическим законам. Такие модели называются

вероятностными или стохастическими,

в отличие от детерминированных моделей, которые таких компонентов не содержат.

Л.3. Типы математических моделей

Другие типы моделей:

статические;

динамические (эволюционные): предмет изучения – изменение рассматриваемого объекта во времени;

квазистатические: изменение объекта происходит столь медленно, что его состояние в каждый момент времени считается статическим, а время рассматривается как параметр;

стационарные: процессы происходят, но изучаемый объект во времени не меняется;

квазистационарные.

Установившимся процессом называют стационарный или периодический процесс.

Переходным процессом называют процесс перехода от одного состояния или установившегося процесса к другому.

Л.4. Построение математической модели

Лекция 4. Построение математической модели

Л.4. Построение математической модели

1. Содержательная модель

Важнейший начальный этап построения или выбора математической модели – это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях.

Уточнение структуры изучаемого объекта, существенных для проводимого исследования свойств его компонентов и характера их взаимодействия.

Содержательную модель желательно по возможности упростить: грубую модель можно в дальнейшем уточнить.

При анализе содержательной модели надо уточнить, какие именно данные мы можем считать известными.

Л.4. Построение математической модели

2. Формулирование математической задачи.

Задачи анализа и синтеза

Прикладные задачи можно условно подразделить на два класса:

Задачи анализа – исследование свойств заданного объекта. Для задач анализа математическая модель обычно сводится к уравнениям того или иного вида.

Задачи синтеза – выбор объекта из некоторой совокупности на основании каких-то требований.

Математическая модель задачи синтеза тоже может свестись к решению уравнений, если условия выбора имеют вид некоторых равенств.

Но часто условие выбора имеет другой характер: для выбираемого объекта некоторая заданная скалярная функция его параметров (целевая функция) должна принять наименьшее или наибольшее возможное значение.

Л.4. Построение математической модели

3. Определяющие соотношения

уравнения математической модели определяющие соотношенияпостулаты содержательной модели Постулаты могут иметь различное происхождение и различную степень адекватности.

1.Универсальные физические законы; физические законы с ограниченной областью действия, для которых возможность применения следует из универсальных законов.

2.Феноменологические законы (достаточно хорошо эмпирически, и отчасти теоретически, обоснованные законы с ограниченной областью действия, также установленной эмпирически).

3.Полуэмпирические соотношения (получающиеся в результате сочетания качественных соображений и обработки результатов эксперимента или иной статистики).

4.Чисто эмпирические соотношения (получаемые с помощью прямой обработки данных наблюдения или эксперимента).

Л.4. Построение математической модели

4. Подобие объектов

Пересчет всех характеристик объекта при переходе от него к подобному объекту равносилен сохранению всех численных значений величин и замене единиц измерения основных размерных величин; при этом коэффициенты подобия по каждой из этих основных величин, вообще говоря, различны.

Подобие двух объектов обеспечивается совпадением для них основных безразмерных комбинаций (критериев подобия) из заданных параметров объекта.

Критериев подобия должно быть N − n, где N – число независимых существенных параметров объекта, n – число основных размерностей.

Л.4. Построение математической модели

Подобие объектов (примеры)

1. Подобие треугольников.

N = 3 (стороны), n = 1 2 критерия подобия, например отношения сторон b/a, c/a.

2. Математический маятник.

Параметры процесса: длина ℓ, масса m, ускорение g, максимальный угол ϕ отклонения.

Размерности: L, M, T ,

[ℓ] = L, [m] = M, [g] = LT −2, [ϕ] = 1

Критерий подобия только 1: N − n = 4 − 3 = 1. Это угол ϕ. Величина ω2ℓ/g безразмерна ω2ℓ/g = f (ϕ)

p

ω = cϕ g/ℓ

Л.4. Построение математической модели

5. Конечные уравнения

Конечное уравнение (алгебраическое или трансцендентное, т.е. неалгебраическое) после переноса всех его членов в левую часть имеет общий вид

f (x) = 0,

где f – скалярная функция скалярного аргумента; система конечных уравнений с несколькими неизвестными:

fk (x1, x2, . . . , xn) = 0, k = 1, 2, . . . , n

Если имеется в виду точное решение такой системы, то надо следить за тем, чтобы уравнений было столько же, сколько неизвестных, и чтобы эти уравнения были независимыми.

Для линейных систем необходимо следить, чтобы система не была плохо обусловлена!

Пример:

1.756x + 2.315y = 4.726, 1.261x + 1.162y = 3.393, = −0.000743

2014 49 / 74

Л.4. Построение математической модели

Конечные уравнения:

метод продолжения решения по параметру

Если система конечных уравнений включает t параметр и ее решение при некотором значении параметра t = t0 известно,

f (x, y, t) = 0, g(x, y, t) = 0,

пусть при t = t0: x = x0, y = y0. Продифференцируем уравнения по t, считая x = x(t), y = y(t):

fx′(x, y, t)dxdt + fy′(x, y, t)dydt = −ft′(x, y, t),

gx′ (x, y, t)dxdt + gy′ (x, y, t)dydt = −gt′(x, y, t).

Мы приходим к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций x(t), y(t).