matmod

Л.4. Построение математической модели

Конечные уравнения:

задача о наилучшем совместном приближенном удовлетворении системы уравнений

Общий принцип: n неизвестных n конечных уравнений.

Но если уравнения выписываются с определенной погрешностью, то в ряде случаев увеличивают количество уравнений.

Для наилучшего совместного удовлетворения системы можно использовать один из вариантов метода наименьших квадратов.

Пример:

x + y = 3.1, x + 2y = 4.9, 2x + 3y = 7.8

(x + y − 3.1)2 + (x + 2y − 4.9)2 + (2x + 3y − 7.8)2 → min

x = 1.23, y = 1.80

Л.4. Построение математической модели

Обычно появляются как математические модели механических и иных систем, для которых определен закон перехода из одного состояния в другое в некоторые дискретные моменты времени, либо как модели стационарного состояния дискретной системы взаимосвязанных объектов.

Появляются при приближенном решении ОДУ (методы Рунге-Кутта, Адамса и др.)

Л.4. Построение математической модели

Дифференциально-функциональные уравнения (дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом)

Пример:

u′(t) = f (t, u(t), u(t − h))

u′(t) = f (t, u(t), u(t − h), u′(t − h)), h > 0.

Такие уравнения появляются, если в моделируемой системе имеется элемент задержки, в результате действия которого скорость эволюции системы определяется ее состоянием не только в текущий момент t, но и в предшествующий момент t − h.

Появление "запаздывания"h приводит не только к количественным, но и к качественным изменениям постановок задач и свойств их решений.

Так, в качестве начального условия для уравнений первого порядка задаются все значения искомой функции u(t) при t0 − h ≤ t ≤ t0; при заданном начальном условии уравнение может решаться не в обе стороны, как обычно, а только "вперед"по t и т.д.

Л.4. Построение математической модели

Интегро-дифференциальные уравнения

Уравнение включает не одно, а несколько дискретных запаздываний, а также ¾распределенное запаздывание¿.

В линейном случае:

Z t

u′(t) = K (t, s)u(s)ds + f (t), t ≥ t0

t0

Интегральные уравнения

1. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода:

Z β

u(t) = K (t, s)u(s)ds + f (t), α ≤ t ≤ β

α

2. Уравнения Вольтерра второго рода:

Z t

u(t) = K (t, s)u(s)ds + f (t), α ≤ t ≤ β

α

Л.4. Построение математической модели

Задача на собственные значения

Z β

λu(t) = K (t, s)u(s)ds, α ≤ t ≤ β

α

Встречается, например, при математическом моделировании колебаний сплошных сред.

Собственным значением ядра K , определяющим частоту так называемых нормальных колебаний среды, называется любое значение λ, при котором уравнение имеет ненулевые решения; сами эти решения, определяющие моды (формы) таких колебаний, называются собственными функциями.

Л.4. Построение математической модели

7. Уравнения для функций нескольких аргументов

Уравнения с частными производными или уравнения математической физики

Появляются в задачах, связанных с механикой сплошной среды, теорией тепломассообмена, теорией электромагнитных полей и т.д., причем независимыми переменными чаще всего служат геометрические координаты и в случае эволюционных задач время.

Два класса:

1. Уравнения, описывающие стационарное состояние среды. Уравнение Лапласа: 2u = 0, уравнение Пуассона: 2u = f (~r),

Эти уравнения применяются при описании напряженного состояния однородных изотропных упругих тел, стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, стационарного распределения температуры, электрических и магнитных полей и т.д.

Л.4. Построение математической модели

При изучении прогиба плоской однородной пластинки применяются также уравнения

Если рассматривается неоднородная среда либо неплоская пластинка, то уравнения остаются линейными, но коэффициенты при производных перестают быть постоянными.

При рассмотрении больших деформаций, течений сжимаемой среды и др. уравнения становятся нелинейными.

Для уравнений стационарного состояния добавочными обычно служат краевые условия, отражающие ситуацию на границе (∂D) области (D).

Краевые условия первого, второго и третьего родов: задание u,

∂u/∂~n, линейной комбинации u и ∂u/∂~n, соответственно.

Л.4. Построение математической модели

2. Эволюционные уравнения. Волновое уравнение:

∂2u = a2 2u.

∂t2

Уравнение теплопроводности:

∂∂ut = a2 2u.

Для таких уравнений обычно ставится начальное условие, отражающее начальное состояние моделируемого процесса (u(t = t0), ut′ (t = t0)).

Если для исследования существенна ситуация на границе области, в которой происходит процесс, то задаются еще граничные условия; тогда говорят о начально-краевой задаче.

Эволюционные задачи оптимального управления: условия ставятся не только в начальный, но и в конечный моменты времени.

Л.5. Построение математической модели

Лекция 4. Построение математической модели (продолжение)