Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Наступление события А в испытаниях называют успехом. Исследуем, как изменяется вероятность Р_n(m) от числа успехов m. Рассмотрим отношение

(5)

Как следует из (5):

1. Р_n(m+1)>P_n(m), если (n-m)p>(m+1)q, т.е. np-q>m;

2. P_n(m+1)<P_n(m), если np-q<m;

3. P_n(m+1)=P_n(m), если np-q=m, т.е. с увеличением m вероятность P_n(m) вначале увеличивается, когда m<np-q, а затем уменьшается, когда m>np-q.

Наибольшая вероятность P_n(m₀)= P_n(m₀+1), когда m₀=np-q. Значения m₀ и m₀+1 - наивероятнейшее висло успехов в схеме независимых испытаний Бернулли. Если np-q - не целое число, то P_n(m) достигает максимума при [np-q]+1=m₀ , где [...] - означает целую часть.

Пример. Каково наивероятнейшее число присутствующих на занятиях студентов из предыдущего примера?

Очевидно, m₀=[10*0.9-0.1]+1=9 человек. P₁₀(9)=0.387 - максимальная вероятность.

Обобщение формулы Бернулли. (Полиномиальное распределение)

Если в каждом из n независимых испытаний может произойти одно и только одно из событий A₁, A₂,..., A_L, т.е. пространство элементарных событий k-го испытания есть W_k={A₁ A₂ ... A_L} и вероятность появления события А_i P(А_i)=p_i , то вероятность того, что в n испытаниях событие A₁ появится m₁ раз, событие A₂ появится m₂ раз и т.д. .. событие A_L появится m_L раз определяется следующим выражением:

(6)

Формула (6) - полиномиальное распределение вероятностей, причем .

Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли

Несмотря на простоту формулы (1) для подсчета вероятности числа успехов в схеме испытаний Бернулли, непосредственное вычисление по ней связано с большой вычисленной работой. Поэтому были получены формулы, позволяющие рассчитывать приближенно P_n(m) при n®¥. Предельные теоремы определяют поведение вероятности P_n(m) при n®¥.

Теорема 1 (теорема Пуассона)

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n®¥, а р®0, причем np=l, где l>0 , то вероятность

, (7)

при любых m=0,1,2...

Доказательство

При n®¥: (n-m+1)(n-m+2)... n®n^m, , отсюда: ,при n®¥.‡

Формула (7) является законом распределения Пуассона.

Замечание: Формулой (7) для приближенных расчетов P_n(m) следует пользоваться при n>>1 и p<<1.

Теорема 2 (локальная теорема Муавра-Лапласа):

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число n®¥ , р - фиксировано, причем р¹0 и р¹1. Тогда для всех x, xÎ(-¥,¥) и справедливо соотношение

(8)

Формула (8) описывает закон распределения Гаусса или нормальное распределение. Эта формула приближенная, наибольшая точность расчетов вероятности обеспечивается при p=q=1/2 и при фиксированных n и m.