Статистическое определение вероятности

(Статистическая оценка вероятности)

Рассмотренные выше частные случаи расчета вероятности встречаются далеко не всегда. Наиболее часто имеют место более сложные случайные явления с неравновозможными исходами в опыте. Наблюдая за такими явлениями в многократно повторяющемся опыте, можно установить, что существует объективная характеристика степени возможности появления случайного события (вероятность), которая проявляется в частоте появления события.

Частота появления события. Многократно производится опыт (m раз). Некоторое событие А появилось раз. Частота появления события/m. При m>>1 частота сохраняет почти постоянную величину. На этом основано статистическое определение вероятности:

(3)

Эта вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова и пригодна во всех случаях. Хотя выражение (3) пригодно во всех случаях, однако его нельзя использовать как определение понятия вероятности, т.к. 1) до проведения опытов нельзя утверждать, что существует вероятность. 2) нельзя вводить характеристику некоторого явления на основе предельного перехода. Статистическое определение вероятности - это способ экспериментальной оценки объективно существующей вероятности.

Что же отражает, от чего же зависит эта объективно существующая характеристика случайного события - вероятность? Опыт, в котором может появиться случайное событие, заключается в наблюдении за некоторым явлением при определенных, фиксированных условиях. Если изменятся условия опыта, то изменится и вероятность появления события. Можно сказать, что вероятность отражает объективно существующую связь между условиями опыта (эксперимента) и случайными событиями.

Условная вероятность

Определение: Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р) и на нем произвольные события А и В . Если Р(В)>0, то условная вероятность события А при условии, что произошло событие В есть

(1)

Поясним смысл условной вероятности. Вероятность события А - это мера объективной возможности данного события при определенных условиях опыта. Совокупность условий, определяющих опыт, обозначим g. (В опыте с подбрасыванием монеты g определяется формой монеты, высотой подбрасывания и т.п.). Таким образом, вероятность события А можно записать так:

Р(А)=Р(Аïg).

Эта запись указывает зависимость вероятности от совокупности условий опыта. Обычно условия опыта g в обозначениях вероятности не используются, они оговариваются при проведении опыта. Р(А) называют безусловной вероятностью события А. Допустим, что при данных условиях g произошло событие В. Наступление В можно считать дополнительным условием. Вероятность наступления А при совокупности условий (g,В) и есть условная вероятность

Р(А/В)=Р(А/g,В).

Вероятность событий при фиксированной совокупности условий g в отличие от условной вероятности называется безусловной. Разница между условной и безусловной вероятностями состоит лишь в различии совокупности условий. Безусловная вероятность есть частный случай условной, если условие В - достоверное событие.

Условная вероятность (1) удовлетворяет аксиомам Колмогорова.

1. Р(А/В)³0, т.к. Р(АВ)³0 и Р(В)>0;

2. P(W/B)=1, т.к. P(W/B)=;

3. Если AÇC=Æ, то P((A+C)/B)=P(A/B)+P(C/B). Действительно, Р((А+С)/В)=