Свойства условных вероятностей

1. Р(В/В)=1

Доказательство: Р(В/В)=

2. P(Æ/B)=0

Доказательство: Р(Æ/В)=

3. Если ВÌА, то Р(А/В)=1

Доказательство: Р(А/В)=

4.Р(А/В)+Р(/В)=1

Доказательство:

5. P(AÈC/B)=P(A/B)+P(C/B)- P(AC/B)

Доказательство: Представим в виде несовместных событий

АÈС=А+С;C=AC+C, тогда

P(АÈС/B)= P(А/B)+ P(С/B) и P(С/B)= P(АС/B)+ P(С/B),

откуда P(АÈС/B)= P(А/B)+ P(С/B)- P(АС/B).

Теорема 1. (Теорема умножения вероятностей)

Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р). На нем определены события А, В такие, что Р(А)>0 и P(B)>0. Тогда вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий и условной вероятности другого при условии, что первое произошло.

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) (2)

Доказательство: По определению условной вероятности:

P(A/B)=P(AB)/P(B) и P(B/A)=P(AB)/P(A), откуда

P(AB)=P(A)P(B/А)=Р(В)Р(А/В).

Замечание: Формула (2) применима и том случае, если одно из событий невозможное, например, Р(А)=0, тогда Р(А/В)=0 и Р(АВ)=0.

Теорема 2: (Обобщение теоремы умножения на n событий).

Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р), на котором определены события А₁, А₂,..., А_n . Для этих событий Р(А_i)>0.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

P(A₁A₂...A_n)= P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)...P(A_n/A₁A₂...A_n-1) (3)

Доказательство: Обозначим . ТогдаP(A₁A₂...A_n)= P(A₁В₂). По теореме 1 имеем:

P(A₁B₂)= P(A₁) P(B₂/A₁)= P(A₁) P(A₂B₃/A₁)= P(A₁)P(A₂/A₁)P(B₃/A₁A₂) = = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃B₄/A₁A₂)=...= =P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)...P(A_n/A₁...A_n-1) €

Независимые события

Определение: Пусть имеется вероятностное пространство (W,F,Р). События А и В (АÎW и ВÎW) называются статистически независимыми, если

P(AB)=P(A)P(B) (1)

(обычно слово «статистически» опускается и говорят, что А и В независимы, если (1) верно)

Свойства независимых событий

1. Если Р(В)>0, то для независимых событий А и В

Р(А/В)=Р(А) (1’)

Доказательство:

–

Замечание: Иногда определение независимости событий дают на основе (1’). События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

2. Если А и В независимы, то независимы и и В; А и;и.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(B)P(A)=

=P(B)(1-P(A))=P(B)P().

Доказательство второго утверждения аналогично. Докажем третье утверждение.

P()=P()=1-P(AÈB)=1-P(A)-P(B)+P(AB);

P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(AB)

Сравнивая эти равенства, видим, что у них одинаковы правые части, следовательно

Р()=Р()Р()–

3. Пусть А и В₁ независимы, А и В₂ независимы, причем В₁В₂=Æ, тогда А и В₁+В₂ - независимы.

Доказательство:

P(A(В₁+В₂))=P(AВ₁+ AВ₂)= P(A)P(В₁)+P(A)P(В₂)=

=P(A)(P(В₁)+P(В₂))=P(A)P(В₁+В₂) –

4. Два несовместных события всегда зависимы, т.к. появление одного исключает появление другого

Если А и В несовместны (АВ=Æ), причем P(А)>0, P(B)>0, то Р(А/В)=Р(В/А)=0.

Доказательство: P(A/B)= …

Независимость событий в совокупности: События А₁,А₂,..., А_n называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

P(А₁А₂...А_n)=P(А₁)P(А₂)...P(А_n)

или короче, пользуясь знаком произведения:

Т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Лекция № 4

Формула полной вероятности.

Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n, вероятности которых известны Р(B_i), . Событие А может появиться при появлении одного из событийB_i, причем условные вероятности Р(А/B_i) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:

(1)

1. - формула полной вероятности.

Доказательство: Событие А можно представить

А=АW=А()=,

т.к. B_i - несовместны, то АB_i - тоже несовместны, поэтому

Р(А)==€

Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?

Решение: Обозначим: B_i={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/B_i) зависят от того, как разложены шары:

1) Все шары положены в одну урну

Р(А/B₁)=2/4=1/2, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4

2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.

3. В каждой урне по одному белому и одному черному шару.

Р(А/B₁)=Р(А/B₂)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2

4. В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.

Р(А/B₁)=0, Р(А/B₂)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3

5. В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3

Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.