1. 3. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение

Французские ученые Био и Савар в 1820 г. провели экспериментальное исследование магнитных полей токов, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал полученные результаты и нашел, что поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками токов.

(5)

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом dl тока I в некоторой точке А , была получена формула, которая носит название закона Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме

(6)

  где I – сила тока в проводнике; dl – участок проводника с током, направленный по оси элемента тока; – радиус–вектор, проведенный от элемента  проводникав точку А; μ₀ – магнитная постоянная. Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей черези. Его направление определяется по правилу буравчика: направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в проводнике (рис. 12).Рис. 12 Модуль вектораопределяется как:

,

(7)

где α - угол между элементом с током и радиус-вектором. Закон Био-Савара-Лапласа (6) в сочетании с принципом суперпозиции (5) позволяет произвести расчет магнитной индукции некоторых конкретных полей.  1. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету поля прямого тока Рассмотрим поле, созданное тонким прямым проводником с током бесконечной длины (рис. 13). Значение индукции магнитного поля в точке А, созданного элементомтока I , определяется формулой (6) или в скалярном выражении – формулой (7). Для того, чтобы определить индукцию магнитного поля, нужно сложить согласно (5) все элементарные векторы.рис. 13 Все векторыв точке А имеют одинаковое направление (см. рис. 13), поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Сделаем некоторые преобразования:;Учитывая, что угол dα , под которым виден участок проводника dl из точки А, мал, можно принять АВ ≈ АС; ВС = rdα, тогда. Подставим полученные выражения для r и dl в формулу (7), а затем в (5).Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π.В итоге:

(8)

 2. Расчет магнитного поля кругового тока Поле в центре кругового тока. По круговому контуру радиуса R течет ток I, требуется найти индукцию магнитного поля в центре контура, в точке О (рис. 14). рис. 14 Рассмотрим элемент контурас током I. Созданная им элементарная индукция будет равна:, где α = π/2, значит sin π = 1. Направление векторовот всех элементовкругового тока совпадает с направлением положительной нормали к контуру. После интегрирования получим:

(9)

1. 4. Циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля

В электростатическом поле циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю.Найдем циркуляцию векторапо замкнутому контуру в магнитном поле. Рассмотрим магнитное поле прямого тока (рис. 16). Ток уходит за чертеж. Линии индукции охватывают контур, их направление связано с направлением тока правилом правого винта (буравчика).Рис. 16 Выберем мысленно замкнутый контур в форме окружности радиуса r. На рисунке 16 он изображен штриховой линией. Вычислим циркуляцию векторапо выбранному контуру. Значение индукции магнитного поля прямого тока на расстоянии r от него задается уравнением (9):. Выражение для циркуляции векторапо контуру запишем в виде:,  так как векторв каждой точке линии магнитной индукции направлен по касательной, угол между элементом контура dl иравен нулю, тогда косинус угла между этими векторами равен единице. Подстановка уравнения (9) приводит к выражению:Циркуляция векторапо замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на ток, охватываемый контуром. Если контур охватывает несколько токов (рис. 17), то берется алгебраическая сумма токов. рис. 3.17

(13)

Это выражение носит название закона полного тока в вакууме. Для поля в веществе учитываются еще молекулярные токи. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта, ток противоположного направления считается отрицательным. Например для системы токов, изображенных на рис. 17 Сравнивая выражения для циркуляции векторовивидим, что электростатическое и магнитное поля имеют принципиальное различие. Циркуляция векторавсегда равна нулю, электростатическое поле потенциальное. Циркуляция векторане равна нулю, такое поле называется вихревым. Теорема о циркуляции вектораимеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Остроградского-Гаусса в электростатике. Она позволяет находить магнитную индукцию поля, не применяя закон Био-Савара-Лапласа. ^