Раздел II. Основы молекулярной физики и термодинамики.

Лекция 8. Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа и основное уравнение МКТ

1. Основные положения и основные понятия МКТ.

2. Уравнение состояния идеального газа. Опытные газовые законы.

3. Основное уравнение МКТ идеальных газов.

1. Основные положения и основные понятия МКТ.

Существуют два основных метода описания физических явлений и построения соответствующих теорий:

1. молекулярно-кинетический (статистический);

2. термодинамический.

Молекулярно-кинетический метод рассматривает свойства физических объектов как суммарный результат действия всех молекул.

Поведение отдельной молекулы анализируется на основе законов классической механики, и полученные результаты распространяются на совокупность большого числа молекул с помощью статистического метода, использующего законы теории вероятности. Это возможно, поскольку движение каждой молекулы хотя и проходит по законам классической механики, но является случайным, т.к. скорости молекул подчиняются законам теории вероятности. Чем больше частиц в системе, тем лучше совпадают выводы статистической теории с результатами эксперимента.

Преимущество метода - ясная картина механизма рассматриваемого явления.

Недостаток - выводы МК теории являются результатом усреднения, поэтому являются приближенными.

Термодинамический метод основывается на введении понятия энергии и рассматривает все процессы с энергетической точки зрения, основываясь на законах сохранения и превращения энергии из одного вида в другой.

Молекулярная физика - раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетической теории.

Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим философом Демокритом (400 г до н.э.). Как научная гипотеза теория атомизма возрождается в XVII веке и развивается в работах Ломоносова (18 век), объяснившего тепловые явления как результат движения мельчайших частиц вещества.

Основные положения МКТ базируются на ряде опытных данных и наблюдений (диффузия, броуновское движение).

1. Все вещества состоят из атомов или молекул.

2. Атомы всех веществ находятся в беспрестанном хаотическом движении.

3. Атомы (или молекулы) всех веществ взаимодействуют между собой.

Диффузия - явление проникновения молекул одного вещества между молекулами другого при их соприкосновении.

Броуновское движение – хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц.

Молекула - мельчайшая частица вещества, обладающая всеми его химическими свойствами.

mм 1026 кг, d 1010м.

Молекулярная масса - масса одной молекулы, измеряется в а.е.м.

вещество	масса м-лы (а.е.м.)	масса вещества (г)	число молекул
Н2	2	2	6,021023
С	12	12	6,021023
О2	32	32	6,021023
СО2	44	44	6,021023

1 моль - это количество вещества, в котором содержится столько атомов (или молекул), сколько их содержится в 12 г основная единица СИ.

Число Авогадро NА - это число атомов (или молекул), содержащихся в одном моле любого вещества. Молярная масса - масса одного моля.

число молей вещества

число атомов (молекул) вещества

2. Уравнение состояния идеального газа. Опытные газовые законы.

В МКТ используют идеализированную модель идеального газа.

Идеальный газ - это газ, молекулы которого можно рассматривать как материальные точки, а их взаимодействие носит характер абсолютно упругого удара. (при низком р и высокой Т реальные газы приближаются к идеальным).

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: р,V,T.

Давление газа представляет собой результат ударов молекул газа о стенки сосуда, в котором газ находится.

[р]=1Па

[V]= 1м3

В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960 г.) применяют две температурные шкалы - термодинамическую (Кельвина) и Международную практическую (Цельсия).

За 0С принята температура замерзания воды при р=1 атм. За 0 К принята температура, при которой должно прекратиться хаотическое движение молекул. Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.

Градус Кельвина равен градусу Цельсия.

Т= tС+ 273, t

Между параметрами газа существует определенная связь, называемая уравнением состояния. Уравнение, связывающее параметры состояния идеального газа, называется уравнением состояния идеального газа или уравнением Клапейрона.

. (1)

Для данной массы идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре есть величина постоянная.

Определим значение константы для определенного количества идеального газа, а именно для одного моля.

Согласно закону Авогадро 1 моль любого газа при нормальных условиях (Т0=273 К, р0=105 Па) имеет VМ= 22,410 м3

Для одного моля

Для произвольной массы газа

уравнение Менделеева-Клапейрона – уравнение состояния идеального газа произвольной массы.

Уравнение (1) объединяет в себе три частных случая, три эмпирических закона для изопроцессов, т.е. процессов, при которых один из параметров остается постоянным.

1. Т= const - изотермический

- закон Бойля-Мариотта

Для данной массы идеального газа при Т= const произведение давления на объем есть величина постоянная.

2. р= const, -

закон Гей-Люссака

3. V=const, -

закон Шарля

3. Основное уравнение МКТ идеальных газов.

Основное уравнение МКТ связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул. Давление газа на стенки сосуда есть следствие бесчисленных столкновений молекул газа со стенками. Средняя сила, возникающая от совокупного действия всех молекул газа, определяет давление газа.

Представим себе сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда, в котором содержится идеальный газ (рис.2). Вычислим давление газа на одну из стенок сосуда площадью S.

Рассмотрим удар одной молекулы, которая до удара двигалась  стенке. Согласно закону сохранения импульса

,

изменение импульса вследствие удара одной молекулы.

За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме параллелепипеда с основанием S и высотой . Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадкеS под разными углами. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений, так что вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную.

концентрация молекул, их число в единице объема.

За время t изменение импульса стенки составит

Т.к.

- сила, с которой молекулы воздействуют на стенку,

а давление, обусловленное этой силой, т.е. давление газа

Если в объеме V содержится N молекул, движущихся со скоростями , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

- основное уравнение МКТ

где - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Поскольку

Сопоставим уравнение Менделеева-Клапейрона и уравнение МКТ.

,

,

,

,

где - постоянная Больцмана;.

Абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии молекул.

Получим ещё одно выражение для давления:

.

Лекция 9. Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса.

Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса

План лекции:

1. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

2. Распределение Больцмана.

3. Средняя длина свободного пробега молекул.

4. Явления переноса:

а).диффузия;

б).внутреннее трение (вязкость);

в).теплопроводность.

1. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от и для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул N будет обладать скоростями в интервале оти ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

~ 

Введем коэффициент пропорциональности f(.

, 

где f( называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

Если вид функции известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .

С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от до .

, (2)

- распределение Максвелла показывает, какая доля общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от до .

Из уравнений  и  следует вид функции 

- (3)

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m₀) и температуры.

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

График функции асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие _в, встречаются чаще, чем меньшие скорости.

- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.

S_общ.= 1.

С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. S_общ.= 1.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Для её определения исследуем на максимум.

, 4,

, .

, .

Ранее было показано, что

, ,

 .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

числу молекул.

.

Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является _в.

2. Распределение Больцмана.

Два фактора - тепловое движение молекул и наличие поле тяготения Земли приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они сосредоточились бы у поверхности Земли. Если бы не было тяготения, то частицы атмосферы рассеялись бы по всей Вселенной. Найдем закон изменения давления с высотой.

Давление столба газа определяется формулой .

Поскольку с увеличением высоты давление уменьшается,

где  плотность газа на высоте h.

Найдем p из уравнения Менделеева- Клапейрона

или .

Проведем расчет для изотермической атмосферы, считая, что Т=const (не зависит от высоты).

.

при h=0 , ,,

, ,,

- барометрическая формула, определяет давление газа на любой высоте.

Получим выражение для концентрации молекул на любой высоте.

, 

Т. к. , а 

где - потенциальная энергия молекулы на высоте h.

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Следовательно, распределение молекул по высоте есть их распределение по энергиям. Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Из распределения Больцмана следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией там, где их потенциальная энергия меньше.

Распределение Больцмана - распределение частиц в потенциальном силовом поле.

3. Средняя длина свободного пробега молекул.

Вследствие хаотического теплового движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом, проходят сложный зигзагообразный путь. Между 2-мя столкновениями молекулы движутся равномерно прямолинейно.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры 2-х молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 4).

Величина называется эффективным сечением молекулы.

Найдем среднее число столкновений молекулы однородного газа в единицу времени. Столкновение произойдёт, если центры молекул сблизятся на расстояние, меньшее или равное d. Предполагаем, что молекула движется со скоростью , а остальные молекулы покоятся. Тогда число столкновений определяется числом молекул, центры которых находятся в объёме, представляющем собой цилиндр с основанием  и высотой, равной пути, пройденном молекулой за 1с, т.е. .

В действительности все молекулы движутся, и возможность столкновения 2-х молекул определяет их относительная скорость. Можно показать, что если для скоростей молекул принято распределение Максвелла, .

.

Для большинства газов при нормальных условиях

.

Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. Оно равно отношению пройденного за время t пути к числу соударений за это время:

Для большинства газов при нормальных условиях .

обратно пропорциональна концентрации молекул.

Поскольку 

При T =const , обратно пропорциональна давлению.

Лекция 10, 11. Основы термодинамики.

В механике не рассматривается изменение внутреннего состояния тел. Для механики, которая решает задачи о движении тела как целого, это не имеет значения. Мы говорим, что при движении часть механической энергии перешла, например, в тепловую и все. Какие процессы сопровождают переход механической энергии в тепло не уточняется.

Термодинамика и молекулярно – кинетическая теория (м.к.т.) изучают внутреннее строение и состояние тел, которые могут меняться в таких процессах, как нагревание и охлаждение, тепловое расширение и сжатие, фазовые превращения, диффузия, теплопроводность и вязкость и т.д.

Термодинамика и молекулярно – кинетическая теория, имея общий предмет изучения, различаются по методу исследований явлений. Термодинамика опирается на небольшое число фундаментальных законов, справедливых всегда и для всех макроскопических тел. Сведения о конкретном виде тел (например о данном газе, жидкости или твердом теле) термодинамика берет из опыта (обычно в виде так называемого уравнения состояния или зависимости физических величин от температуры или давления). При этом молекулярное строение тел остается за рамками термодинамического исследования.

Молекулярно – кинетическая теория, напротив, для каждого конкретного тела создает модель его молекулярного состояния и из этой модели методами математической статистики (ввиду большого числа молекул) выводит конкретные свойства данного вещества. Методы термодинамики и м.к.т. взаимно дополняют друг друга.

Термодинамическое состояние тела (например, газа) характеризуется его массой , молярной массой μ, давлением, объемом, температурой(а возможно, и другими величинами, например, определяющими его химический состав). Все эти величины называются термодинамическими параметрами тела. Однако, как будет видно из дальнейшего, такие параметры, как,имеют смысл только тогда, когда тело находится, хотя бы приближенно, в так называемом состоянии термодинамического равновесия (т.д.р.). Так называется состояние, в котором все термодинамические параметры остаются со временем постоянными (к этому следует добавить еще условие отсутствия стационарных потоков). Если, например, быстро подогревать газ, как это показано на рис. 9.1, температура непосредственно подогреваемой части сосуда А окажется выше температуры части В. Не будут равны и давления в частях А и В. В этом случае не имеет смысла понятие температурыили давлениявсего газа. Другой пример – впустим в газ пучок быстрых молекул. Ясно, что не имеет смысла говорить о температуре газа до тех пор, пока быстрые молекулы, вследствие ряда столкновений с другими, не приобретут скоростей порядка средней скорости остальных молекул, иначе говоря, пока система не придет в состояние т.д.р.

В состоянии т.д.р. для каждого вещества термодинамические параметры связаны между собой так называемым уравнением состояния:

(9.1)

Таким уравнением состояния для идеального газа является уравнение Менделеева – Клапейрона:

(9.2)

Здесь R=8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная, μ - молярная масса. Для углерода (С) величина μ составляет 12г, для водорода (H₂) – 2г, для кислорода (О₂) – 32г, для воды (Н₂О) – 18г и т.д.

В моле любого вещества содержится одно и то же количество молекул N₀, называемое числом Авогадро:

(9.3)

Это объясняется тем, что значение моля любого вещества выбрано пропорциональным массе молекулы этого вещества. Масса молекулы может быть получена делением массы моля на число Авогадро:

(9.4)

Отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро (т.е. универсальная газовая постоянная, приходящаяся на одну молекулу) называется постоянной Больцмана:

(9.5)

В формулу (9.2) входят еще давление, объем, температура и масса газа. Давление Р в системе СИ измеряется в ньютонах на квадратный метр или паскалях (Н/м²=Па), объем V – в кубических метрах (м²), масса m – в килограммах (кг), температура T – в кельвинах (К). Абсолютная температура Т отсчитывается от абсолютного нуля (-273,15°С), т.е. Т=t+273,15, где t – температура по Цельсию.

Если количество вещества равно 1 молю, то (9.2) превращается в

(9.6)

Идеальным газом называется газ, настолько разреженный, что он подчиняется уравнению (9.2) или(9.6). Смысл этого определения состоит, очевидно, в том, что для подчинения уравнению (9.6) газ должен быть достаточно разреженным. Если газ, напротив, сжат до достаточно больших плотностей (так называемый реальный газ), то вместо (9.6) имеем

(9.7)

Это – уравнение состояния реального газа или уравнение Ван-дер-Ваальса. Здесь a и b – постоянные.

Под внутренней энергией (U) понимается вся энергия системы (тела) за исключением механической энергии системы как целого. Что именно входит во внутреннюю энергию системы? Сюда входит кинетическая энергия поступательного движения ее молекул, потенциальная энергия их взаимодействия между собой, энергия возбуждения колебаний и вращений молекул. Здесь перечислены лишь те виды энергии системы, которые могут меняться в рассматриваемых нами термодинамических процессах. Например, энергию возбуждения атомных ядер нужно будет включить, если будут рассматриваться температуры, при которых такое возбуждение может произойти.

Поскольку состояние термодинамической системы (например, газа) определяется величинами m, μ, V, T (давление P само определяется этими же величинами), то от них должна зависеть и внутренняя энергия U. Опустим пока постоянные для данного тела m и μ (ниже примем их во внимание), запишем U=U(V,T). Зависимость внутренней энергии от объема V связана с тем, что при изменении объема меняется расстояние между молекулами и, следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия. Эта зависимость существенна только для реального газа. Для идеального газа внутренняя энергия должна зависеть только от температуры, т.е. U=U(T), так как температура определяет среднюю кинетическую энергию молекул.

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре с поршнем, позволяющем менять объем газа (рис 9.2). Отметим, что слово «газ» здесь совершенно условно. Это может быть жидкость, кристалл и вообще любое тело. Цилиндр контактирует с нагревателем или холодильником, который может сообщать газу тепло или отбирать его.

Пусть на поршень оказывается внешнее давление, величина которого может быть любой.

Все процессы, которые будем рассматривать ниже, будут квазистатическими, т.е. медленными настолько, чтобы можно было считать, что в каждый момент газ находится в состоянии т.д.р. Если очень быстро сжать газ, то давление его у поршня окажется на какой-то момент больше, чем в стальном объеме, и тогда нельзя будет говорить о давлении газа вообще. Такой процесс не является квазистатическим. Приближенно квазистатическими являются и процессы, достаточно быстрые с технической точки зрения, например процессы, происходящих в цилиндрах двигателя автомашины во время работы мотора (оказывается, для приближенной квазистатичности требуется, чтобы скорость поршня была мала по сравнению со скоростью звука в газе).

Работа над газом выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа выполняется при его расширении. Пусть газ расширяется так, что поршень на рис.9.2 поднимается на величину dx. Тогда газ выполнит работу (S – площадь поршня). Получим

(9.8)

Эта величина называется элементарной работой газа. Работа при расширении газа от объема V₁ до V₂будет равна

(9.9)

Если по одной оси отложить объем газа, по другой – его давление (плоскость P – V), то работа (9.9) будет изображаться площадью под кривой P(V) (рис.9.3).

Процесс расширения от объема V₁ до объема V₂ может происходить различным образом: например, можно при этом изолировать газ от нагревателя или, наоборот, нагревать газ и т.д. Иначе говоря, при перемещении из точки 1 в точку 2 в газе могут происходить различные процессы, даже если зафиксировано начальное и конечное состояния. В каждом процессе работа будет иметь свое значение, так как площадь под кривой процесса будет различной (кривые I, II, и III на рис.9.3). Таким образом, выполняемая газом работа зависит от процесса, который с ним происходит. Обычно (хотя это и не совсем точное выражение) говорят, что «работа газа есть функция процесса».

Заметим, что работа положительна, если она выполняется газом, и отрицательна, если внешние силы выполняют ее над газом.

Первый закон термодинамики представляет собой закон сохранения энергии. Если сообщить телу количество тепла (рис.9.4), тело может за счет этого тепла увеличить свою внутреннюю энергию на величинуи, кроме того, выполнить работу, причем в силу закона сохранения энергии:ΔQ=ΔU+ΔA

Последние выражение удобнее записать для малого изменения состояния системы, вызванного сообщением ей малого количества тепла δQ и совершением системой элементарной работы δA

δQ = dU+δA

(9.10)

Различие в записи малого приращения внутренней энергии dU и элементарного количества теплоты δQ, а также элементарной работы δA объясняется следующим соображениями. Как уже отмечалось, внутренняя энергия системы является функцией ее состояния. Следовательно, при любом процессе, в результате которого система вновь возвратилась в некоторое состояние, полное изменение ее внутренней энергии равно нулю. Математически это записываться в виде уравнения которое является необходимым и достаточным условием того, что внутренняя энергия системы U представляет собой, так называемый полный дифференциал dU. Работа и теплота такими свойствами не обладают. Поэтому δQ и δА не являются полными дифференциалами, эти величины являются “Функциями процесса” (см. рис. 9.3)

Таким образом:

δQ = dU+δA

Первый закон термодинамики формулируется следующим образом:  теплота, переданная системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы.

Основные понятия о теплоемкости вещества

В термодинамике для характеристики тепловых свойств тел используется понятие теплоемкости.

Теплоемкость - количество теплоты необходимое для нагревания тела на один Кельвин

(9.11)

Удельной теплоемкостью называется величина, числено равная теплоте, которую надо сообщить единице массы тела для повышения его температуры на один Кельвин:

(9.12)

Отсюда можно определить количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, массы m

(9.13)

Молярная теплоемкость - количество тепла необходимое для нагревания одного моля вещества на один Кельвин

(9.14)

Воспользовавшись I законом термодинамики выражение (9.11) можно переписать в виде

(9.15)

откуда следует, что теплоемкость есть функция процесса, т.е. теплоемкость системы зависит от того каким образом система переходит из одного состояния в другое. Вообще говоря, таких процессов может быть сколько угодно, фактически же используются чаще всего теплоемкость при р=const(Cp) и при V=const(C_V).

Изохорический процесс (V=const)

Первое начало термодинамики

Так как при изохорическом процессе работа не совершается

первое начало термодинамики приобретает следующий вид:

т.е. при изохорическом процессе вся подводимая к газу теплота затрачивается на увеличение внутренней энергии системы. Теплоемкость

(9.16)

Изобарический процесс

При изобарическом процессе элементарная работа.

Работа системы при изменении объема от V₁ до V₂ определяется следующим выражением (рис. 9.5)

Уравнение первого начала термодинамики имеет вид

Следовательно, теплота, переданная газу при изобарическом процессе, затрачивается на увеличение его внутренней энергии и совершение работы. Из (9.16) следует, что для одного моля газа:

В свою очередь . Подставляя эти уравнения в первое начало термодинамики получим

По определению изобарическая молярная теплоемкость

откуда

Подставляя последнее в уравнение первого начала термодинамики, получим

(9.17)

Определим давление Р из уравнения состояния идеального газа для одного моля газа получаем:

Продифференцируем по всем параметрам:

т.к. pv= const, то dP = 0 и уравнение состояния газа имеет вид:

Подставим последнее в (9.17)

или

(9.18)

Последнее соотношение называется уравнением Майера.

Изотермический процесс

При изотермическом процессе (Т=const) dT=0 и изменение внутренней энергии dU=0. Согласно первому началу термодинамики теплота δQ, передаваемая газу, полностью затрачивается на внешнюю работу .

Работа системы численно равны (как известно) площади под графиком процесса в координатах P:V (рис. 9.6) Аналитическое выражение для работы следующие:

Определим из уравнения Менделеева - Клапейрона Р:

и подставим в уравнение работы

(9.19)

Адиабатический процесс

Адиабатический процесс - это такое изменение состояний газа, при котором он не отдает и не поглощает извне теплоты. Следовательно, адиабатический процесс характеризуется отсутствием теплообмена газа с окружающей средой. Адиабатическими можно считать быстро протекающие процессы. Так как передачи теплоты при адиабатическом процессе не происходит, то и уравнение I начала термодинамики принимает вид

(9.20)

или

т.е. внешняя работа газа может производиться вследствие изменения его внутренней энергии. Адиабатное расширение газа (dV>0) сопровождается положительной внешней работой, но при этом внутренняя энергия уменьшается и газ охлаждается (dT<0).

Сжатие газа (dV0, т.е. адиабатное сжатие газа сопровождается его нагреванием.

Найдем связь между параметрами состояния идеального газа (например, Р и V) в адиабатическом процессе. Для этого перепишем (9.20) в форме

а величину найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона

Таким образом, или, учитывая, что для идеального газаРазделим обе части этого уравнения на

где безразмерная величина, называемая постоянной адиабаты. Пренебрегая зависимостьюот температуры, можно считать, что для данного газа. Интегрируя последнее уравнение

получим т.е.

(9.21)

Это выражение называют уравнением Пуассона. Соотношение между давлением и температурой, а также между объемом и температурой идеального газа в адиабатическом процессе имеют вид

Эти соотношения легко получить из (9.21), пользуясь уравнением Менделеева - Клапейрона. Линию, изображающую адиабатический процесс в диаграмме состояния, называют адиабатой. На рис. 9.7 сплошной линией показан вид адиабаты в (P-V) диаграмме. Для сравнения в том же рисунке пунктирной линией изображена изотерма, соответствующая температуре газа в начальном состоянии 1. Так как для любого идеального газа показатель адиабаты , то в (P-V) диаграмме адиабата всегда идет круче, чем изотерма. Объясняется это тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления обусловлено не только уменьшением объема газа, как при изотермическом сжатии, то также еще и увеличения температуры. При адиабатическом расширении температура газа уменьшается, поэтому давление газа падает быстрее, чем при изотермическом расширении.

Работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе, найдем интегрируя выражение

Полная работа

Из уравнения Майера (9.18) и выражения для показателя адиабаты γ следует, что

Поэтому

(9.22)

В соответствии с соотношением 

Следовательно, выражение (9.22) для работы можно представить в виде

или

Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс

Обратимым процессом называют такой процесс, который может быть проведен в обратном направлении таким образом, что система будет проходить через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Обратимым может быть только равновесный процесс.

Обратимый процесс обладает следующими свойствами: если при прямом ходе на каком-то элементарном участке (рис. 9.8.) система получает тепло и совершает работу, то при обратном ходе на том же участке система отдает теплои над ней совершается работа. По этой причине после протекания обратимого процесса в одном, а затем в обратном направлении и возвращение системы в первоначальное состояние в окружающих телах не должно оставаться никаких изменений. Например шарик на пружине в вакууме колеблется бесконечно долго.

В том случае, когда после завершения прямого и обратного процессов система вернулась в первоначальное состояние и в окружающей среде остались изменения, процесс является необратимым. Очевидно, что все процессы в природе необратимые.

Круговым процессом (или циклом) называется такой процесс при котором система после ряда изменении возвращается в исходное состояние. На графике цикл изображается замкнутой кривой Работа совершаемая при круговом процессе, численно равна площади охватываемой кривой. После совершения цикла система возвращается в прежнее состояние. Поэтому всякая функция состояния, в частности внутренняя энергия, имеет в начале и в конце цикла одинаковое значение.

Цикл Карно

Анализируя работу тепловых двигателей, французский инженер С. Карно в 1824г. пришел к выводу, что наивыгоднейшим круговым процессом является обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов, т.к. он характеризуется наибольшим коэффициентом полезного действия. Такой цикл получил название цикла Карно. В прямом цикле Карно рабочее тело изотермически, а затем адиабатически расширяется, после чего снова изотермически (при более низкой температуре) и потом адиабатически сжимается. Т.е. цикл Карно ограничен двумя изотермами и двумя адиабатами.

При изотермическом расширении от нагревателя отбирается тепло (на участке 1-2 рис. 9.11). Вследствие этого температура газа поддерживается неизменной. Соответственно, параметры точки 2 будут равны. На участке 2-3 происходит адиабатное расширение. Внутренняя энергия газа уменьшается и его температура падает до Т₂. Параметры точки 3 - . На участке 3-4 газ изотермически сжимается. Параметры точки 4 -. Выделяющееся при этом теплоотбирается холодильником. Участок 4-1 -адиабатическое сжатие до исходного состояния, соответствующего точке 1. Таким образом, завершен цикл “1-2-3-4-1 и в итоге нагреватель отдал газу теплоту, а холодильник отобралРазностьопределяет полезную работу газа за один цикл, так как согласно I началу термодинамики, но для кругового процессаи, следовательно.

Отношение полезной работы к затраченной энергии нагревателя определяет коэффициент полезного действия (к.п.д.) тепловой машины:

(9.23)

Эта формула справедлива для любого обратимого и необратимого процесса.

Определим коэффициент полезного действия цикла Карно для обратимого процесса. Теплота подводится на участке 1-2 и отводится на участке 3-4. Для изотермического процесса внутренняя энергия Q=const и все подводимое тепло расходуется на работу .

Тогда илиДля изотермического процесса работаС учетом последних выражений

(9.24)

Покажем, что

Так как процессы на участках 2-3 и 1-4 адиабатические, для определения связи между ииииспользуем уравнение Пуассона в виде

Следовательно, иРазделим эти уравнения и получимТогда выражение для к.п.д. (9.24) примет вид

Эта формула справедлива только для обратимого цикла Карно.

Теоремы Карно.

1. Все обратимые машины, работающие по циклу Карно, имеют, независимо от природы рабочего тела, одинаковый КПД при условии если у них общий нагреватель и холодильник.

2. Если две тепловые машины имеют общий нагреватель и холодильник и одна обратимая, а другая необратимая, то КПД обратимой больше необратимой

Второе начало термодинамики

Выражая всеобщий закон сохранения и превращения энергии, первое начало термодинамики не позволяет определить направление протекания процесса. В самом деле, процесс самопроизвольной передачи энергии в форме теплоты от холодного тела к горячему ни в какой мере не противоречит первому закону термодинамики. Однако при опускании раскаленного куска железа в холодную воду никогда не наблюдается явление дальнейшего нагревания железа за счет соответствующего охлаждения воды. Далее, первое начало не исключает возможности такого процесса, единственным результатом которого было бы превращение теплоты, полученной от нагревателя в эквивалентную ей работу. Так, например основываясь на первом начале можно было бы попытаться построить периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет одного источника тепла (например за счет внутренней энергии океана). Такой двигатель называется вечным двигателем второго рода. Обобщение огромного экспериментального материала привело к выводу о невозможности построения вечного двигателя второго рода. Этот вывод получил название второго начала термодинамики.

Существует ряд различных по форме, одинаковых по существу формулировок второго начала:

1. Невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение всей теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу.

2. Формулировка Клаузиуса: теплота сама собой не может переходить от менее нагретого тела к более нагретому.

3. Формулировка Томсона-Планка: перпетуум мобиле второго рода невозможен.

Энтропия

Из теоремы Клаузиуса следует, что приведенная теплота подобно энергии (потенциальной, внутренней) является функцией состояния (не зависит от пути перехода и зависит только от состояния системы). Независимость интеграла

от пути перехода означает, что этот интеграл выражает собой изменение некоторой функции состояния системы, она называется энтропия и обозначается буквой S. Изменение энтропии системы, очевидно, равно

(9.30)

Мы говорим только об изменении энтропии (подобно изменению потенциальной энергии , для которой не важно где начало отсчета). Из уравнения (9.30) вытекает основное количественное выражение второго начала термодинамики

(9.31)