8.1.7. Оценка правильности выбора теоретической

функции распределения

Проверка правильности выбора теоретической функции распределения по полученным экспериментальным данным может быть выполнена по критериям согласия или с помощью вероятностной бумаги.

8.1.7.1. Применение критериев согласия

После сглаживания эмпирической кривой необходимо определить вероятность того, что исследуемая эмпирическая кривая соответствует выбранному теоретическому закону. Предполагается, что исследуемая эмпирическая кривая находится в соответствии с теоретической, если вероятность совпадения более 0,05. Если эта вероятность менее принятого уровня ( 0,05; 0,01), то отклонения являются большими и необходимо искать другую теоретическую кривую. В случае, когда несколько теоретических кривых имеют отклонения, то принимается кривая с максимальной вероятностью совпадения.

Критерий Пирсона

Для большого числа испытаний наилучшие результаты дает критерий Пирсона по сравнению с другими критериями. Критерий Пирсона надо применять в тех случаях, когда теоретические значения параметров распределения неизвестны:

χ ² = , (8.33)

где χ ² - критерий Пирсона, m_i – экспериментальная частота; m_i^/- теоретическая частота, N – число испытаний.

Для оценки правильности применения кривой нормального распределения стойкости сверл диаметром 13 мм (см. табл. 8.4 и 8.5) составим табл.8.8.

Таблица 8.8

Исходные данные для определения критерия Пирсона

(партия сверл диаметром 13 мм; N = 20 )

№ п/п	Экспериментальные частоты, mi	Теоретические частоты mi/ = р I (t) N	mi – mi/	(mi - mi/)2	(mi - mi/)2 mi/
1	1	1,69	0,69	0,48	0,281
2	6	3,32	2,68	6,63	1,990
3	5	4,6	0,4	0,16	0,0348
4	3	4,48	-1,48	2,18	0,0340
5	3	3,16	-0,16	0,26	0,477
6	2	1,45	0,55	0,3	0,208

Данные граф 1,2,3 табл.8.8 взяты из табл.8.5; в графах 2 и 3 даны соответственно эмпирические и теоретические частоты, а в графах 4 – 6 – расчетные значения величин, входящих в зависимость (8.33).

Просуммировав данные графы 6 табл. 8.8, получили величину критерия Пирсона

= 3,15 χ ² .

После нахождения значения χ ² определяем число степеней свободы К=n – r–1, где n – количество сравниваемых частот; r – число параметров теоретической функции распределения (r=2 для нормального закона). В нашем случае n=6, r=2 и К=6-2-1=3. Из табл.3 (см. прил.1 для К=3 и χ²=3,15 выбираем наиболее близкое значение р(χ²)=0,3916. Так как 0,3916>0,05 – эмпирическая кривая распределения соответствует нормальному закону.

Критерий Колмогорова λ

Критерий Колмогорова является одним из лучших, если известны теоретические значения параметров распределения. Этот критерий также применяется и в случаях, когда параметры неизвестны, но в этом случае он дает немного завышенные оценки. Рассмотрим применение критерия для примера из табл.8.5.

λ = Д_max , (8.34)

где

Д_max = (m_i0 – m^/_i0 ) _max / N , (8.35)

m_i0 – накопленные эмпирические частоты; m_i0^/ – накопленные теоретические частоты; (m_i0 – m_i0^/ ) _max - максимальное значение разницы между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; N – количество исследуемых инструментов (размер выборки).

Необходимые для расчета λ данные представлены в табл.8.9. Графы 1-3 табл.8.9 заимствованы из табл.8.8; в графах 4 и 5 приведены эмпирические и теоретические накопленные частоты как сумма предыдущих частот. Затем находится разница между накопленными частотами (графа 6), максимальные значения этой разницы (m_i0 – m_i0^/)_max, определяется Д_max=2,39/20=0,12 (графа 7) и вычисляется  по формуле (8.35).

Таблица 8.9

Определение критерия Колмогорова

(партия сверл диаметром 13,0 мм, N = 20)

№ п/п	Экспериментальные частоты mi	Теоретические частоты mi/	Накопленные частоты		mi0-mi0/	Дmax=
			mi0	mi0/
1	1	1,69	1	1,69	-0,69		0,12= 0,536
2	6	3,32	7	5,01	+1,99
3	5	4,6	12	9,61	+2,39
4	3	4,48	15	14,09	+0,91
5	3	3,16	18	17,25	+0,75
6	2	1,45	20	18,7	+ 1,3

Для рассчитанного значения λ=0,536 по табл.4 (см. прил.1) находим, что для ближайшего λ =0,5 величина Р()=0,9639, т.е., с вероятностью в 96 % теоретическая кривая нормального распределения аппроксимирует экспериментальное распределение стойкости партии сверл.