4.5. Одновременное проявление внезапных и постепенных отказов

Во многих случаях, когда объект подвержен постепенным (износным) отказам, одновременно существует опасность потери работоспособности также по причине внезапных отказов. При этом возможны следующие схемы одновременного проявления постепенных и внезапных отказов /2/.

Совместное и независимое действие процессов,

приводящих к постепенным и внезапным отказам

При этом случайное событие A - безотказность объекта в течение некоторого времени (наработки) t - представляет собой произведение (совмещение) двух случайных событий: события А_П - безотказность объекта по постепенным (износным) отказам - и события А_В - безотказность объекта по внезапным отказам, т. е. А = А_П  А_В .

Так как события А_П и А_В независимы, то для нахождения вероятности события А (вероятности безотказной работы объекта) можно применить теорему умножения вероятностей независимых случайных событий Р(А)=Р(А_П)Р(А_В) или Р(t)=Р_П(t)Р_В(t), где Р_П(t) и Р_В(t) - вероятности безотказной работы объекта по постепенным и внезапным отказам, соответственно. Вероятности безотказной работы Р_П(t) и Р_В(t) можно определить, если известны вид и параметры соответствующих законов распределения случайной величины – наработки объекта до отказа.

Так, если для постепенных отказов принята модель, рассмотренная в п. 4.3.2, для которой вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле (4.20), а внезапные отказы моделируются экспоненциальным законом распределения (4.23), то

. (4.30)

Из рис. 4.13 следует, что в начальный период времени (наработки) основное влияние на вероятность безотказной работы объекта оказывают внезапные отказы, а затем все большее значение начинают приобретать постепенные отказы.

Последовательное действие двух причин, приводящих к отказу. Модель сложного отказа, вызванного усталостными повреждениями материалов

В некоторых случаях физика отказа настолько сложна, что содержит в себе элементы как постепенных (износных), так и внезапных отказов, т.е. наблюдается сложный отказ. Например, весьма распространенный случай выхода из строя деталей машин по причине усталостных повреждений материала поверхностных слоев или тела детали (валы, подшипники качения, детали передач зацеплением и др.) связан с зарождением и последующим развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений или начального повреждения материала детали, обусловленного производственным дефектом.

Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа (зарождение микротрещины является следствием случайного повышения эксплуатационной нагрузки, вызванного внешними неконтролируемыми причинами), а процесс развития усталостной трещины характеризуется признаками постепенного отказа. Процессы зарождения микротрещины и усталостного разрушения действуют последовательно. Сначала должна проявиться причина (событие - внезапное зарождение микротрещины), затем - следствие (событие- постепенный рост усталостной трещины до критического размера, соответствующего отказу).

Событие (отказ объекта):, причем событияиявляются зависимыми. По теореме умножения вероятностей зависимых случайных событий вероятность отказа объекта

или

, (4.31)

где P(A) = P(t) - вероятность безотказной работы объекта, отнесенная к рассматриваемому моменту времени (наработки) t; P(A_B) = P_B(t) - вероятность незарождения микротрещины, отнесенная к рассматриваемому моменту t; - условная вероятность недостижения усталостной трещиной критического размера в момент t, определяемая при условии, что микротрещина возникла.

Отметим, что точный подход к решению данной задачи требует нахождения композиции законов распределения, соответствующих процессу-причине и процессу-следствию; при этом функция плотности распределения случайной наработки объекта до отказа составит

,

где и- функции плотности распределения случайного времени (наработки) до возникновения микротрещины и случайного времени (наработки) от зарождения микротрещины до достижения ею критического размера, соответственно.

Однако такой подход к решению задачи сопряжен с математическими трудностями. Поэтому, считая в первом приближении, что вероятности Р_П(t) и Р_В(t) определяются по формулам (4.20) и (4.23), на основании формулы (4.31) получим:

. (4.32)

В последнем равенстве параметры распределения для рассматриваемой модели сложного отказа, обусловленного усталостными повреждениями, имеют смысл:

X_max - критическая величина усталостной трещины, достижение которой ведет к разрушению детали;

- средняя начальная величина микротрещины;

- средняя скорость роста усталостной трещины;

_а - среднее квадратическое отклонение начальной величины микротрещины;

_- среднее квадратическое отклонение скорости роста усталостной трещины;

 - среднее число микротрещин, зарождающихся в единицу времени (наработки).

Формула (4.32) содержит 6 параметров, оценки значений которых могут быть получены только на основе экспериментальных данных, что весьма затруднено. Поэтому на практике для моделирования сложных отказов, в частности, отказов, возникающих вследствие усталостных повреждений, чаще всего используют двухпараметрический закон Вейбулла–Гнеденко (рис. 4.14). Функция плотности распределения случайной наработки до отказа для этого закона имеет вид

, (4.33)

где m - параметр формы распределения (m>0); T₁ - параметр масштаба (T₁>0).

Вероятность безотказной работы

. (4.34)

Интенсивность отказов

. (4.35)

Характеристики закона распределения Вейбулла-Гнеденко:

а) математическое ожидание (средняя наработка до отказа)

, (4.36)

где - гамма-функция (табулирована);

б) дисперсия (квадрат среднего квадратического отклонения)

. (4.37)

Следует отметить, что в отличие от ранее рассмотренных законов распределения (нормального, экспоненциального), закон Вейбулла-Гнеденко не содержит в явном виде, в качестве параметров, характеристик распределения, что создает определенные трудности в практическом использовании этого закона для моделирования отказов. Основное преимущество закона Вейбулла-Гнеденко заключается в его гибкости и способности отражать самые разнообразные причины отказов как внезапного, так и постепенного характера.

В ряде случаев используют трехпараметрическое распределение Вейбулла /19/, содержащее дополнительный параметр c - параметр положения (сдвига по оси времени). Выражения функции плотности распределения, вероятности безотказной работы и интенсивности отказов для этого закона получаются из соответствующих формул (4.33)-(4.35) заменой t на (t – c).

Частные случаи закона распределения Вейбулла-Гнеденко:

а) при m = 1 - экспоненциальный закон:

,

где - интенсивность отказов.

В этом случае параметр масштаба T₁ имеет смысл средней наработки до отказа: .

б) при m = 2 - закон Релея, часто используемый для моделирования отказов аппаратных средств систем управления и обычно представимый в виде:

где .