4.4. Моделирование внезапных отказов на основе экспоненциального закона надежности

Как уже указывалось ранее в (см. гл.3), причина возникновения внезапного отказа не связана с изменением состояния объекта во времени, вызванным постепенным накоплением повреждений, а вероятность возникновения внезапного отказа на некотором интервале (времени) наработки зависит только от длины этого интервала и интенсивности отказов. Причиной внезапного отказа является случайное сочетание неблагоприятных неконтролируемых факторов и внешних воздействий, превышающее возможности объекта к их восприятию. Характеристикой уровня случайных внешних воздействий, которым может подвергаться объект при эксплуатации, и возможностей объекта к их восприятию является интенсивность отказов (t), которая в случае внезапных отказов является постоянной величиной (t)==const, что является основным признаком внезапного отказа.

Применение основного признака внезапного отказа к основной формуле надежности (2.10) дает экспоненциальный закон надежности (рис. 4.10,а)

, (4.23)

широко используемый для моделирования внезапных отказов.

Характеристиками экспоненциального закона надежности являются:

1) математическое ожидание (первый начальный момент, средняя наработка до отказа):

(4.24)

2) дисперсия (второй центральный момент, квадрат среднего квадратического отклонения)

. (4.25)

Среднее квадратическое отклонение

. (4.26)

Учитывая (4.24), формулу для вероятности безотказной работы можно представить в виде

. (4.27)

Разлагая последнюю формулу в ряд Маклорена

и ограничиваясь двумя членами разложения, получаем линейную аппроксимацию экспоненциального закона, которую можно применять для расчетов в зоне высокой безотказности (рис. 4.10,б):

. (4.28)

Функция плотности распределения для аппроксимированного закона

,

т.е. в зоне высокой безотказности (малые значения наработки) можно считать, что случайная величина ₁ - наработка объекта до отказа – распределена равномерно с плотностью  = const.

Поскольку причина возникновения внезапного отказа связана не с изменением состояния объекта, а с неблагоприятным сочетанием действующих факторов, то для построения модели внезапного отказа необходимо оценить обстановку, которая может привести к отказу и оценить вероятность этого события.

Построение модели внезапного отказа связано с анализом условий эксплуатации объекта, режимов его работы, возможностей возникновения экстремальных нагрузок и активного влияния внешней среды на работоспособность объекта.

Рассмотрим типичные модели внезапных отказов.

Модель внезапного устойчивого отказа

невосстанавливаемого объекта

Рассмотрим модель внезапного устойчивого отказа невосстанавливаемого объекта, когда на допустимые значения выходного параметра установлен допуск , ограниченный предельными верхним X_H и нижним X_L уровнями значений выходного параметра, выход из которых означает отказ объекта (рис. 4.11). В отличие от постепенных отказов, случайный процесс X(t), характеризующий изменение состояния объекта во времени, не является детерминированной функцией случайных аргументов, имеющей определенную тенденцию изменения в сторону прогрессивного ухудшения качественных выходных параметров объекта, обусловленного накоплением деградационных повреждений. Процесс X(t) в случае внезапных отказов представляет собой стационарный случайный процесс, характеристики которого (математическое ожидание MX(t) = const, дисперсия DX(t) = const, функция плотности распределения выходного параметра f_x(x, t) = f_x(x)) не зависят от времени (наработки объекта) t. Колебания X_i(t) и X_k(t) отдельных реализаций этого процесса для i-го и k-го экземпляров объекта обусловлены переменностью условий и режимов эксплуатации, случайным характером эксплуатационных нагрузок и внешних воздействий на объект. Моменты _1i и _1k выхода отдельных реализаций за пределы допуска на выходной параметр фиксируются как отказы соответствующих экземпляров объектов.

В силу стационарности процесса X(t) в каждый момент времени (наработки) t условная вероятность выхода определенной реализации процесса X_k(t) за пределы допуска , определяемая при условии, что в этот момент данная реализация существует (отказ соответствующего k-го экземпляра объекта не возник), является постоянной величиной

.

Но эта вероятность не равна вероятности отказа объекта F(t), являющейся возрастающей функцией времени (наработки), так как распределение f_x(x) не учитывает, что часть реализаций случайного процесса X(t) (например, реализация X_i(t)) прекратили свое существование к рассматриваемому моменту.

Случайная величина ₁ - наработка объекта до отказа распределена по экспоненциальному закону (4.23). Статистической оценкой интенсивности отказов  является величина

,

где n - общее количество испытанных объектов (объектов, для которых фиксировались моменты отказов).

Модель возникновения перемежающегося отказа

(простейший поток отказов восстанавливаемого объекта)

Рассмотрим восстанавливаемый объект, подверженный внезапным отказам (сбоям), образующим поток случайных событий (рис.4.12,а). В этом случае периоды работоспособности объекта длительностью _i чередуются с периодами восстановления (самовосстановления) работоспособного состояния длительностью _i, следующими за соответствующим i-м отказом объекта (выходом процесса изменения выходного параметра объекта X(t) за пределы допуска ).

Вообще под потоком событий (в частности, отказов) понимается последовательность однородных событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени или наработки t_i (рис. 4.12,б). Если эти моменты строго определены какой-то закономерностью, будет иметь место регулярный поток событий (отказов). Если же эти моменты случайны, имеет место поток случайных событий (отказов). В частном случае стационарности процесса X(t) имеет место простейший (пуассоновский) поток случайных событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействий.

а)

б)

Стационарным потоком случайных событий называется поток, в котором вероятность попадания некоторого числа событий на интервал времени (наработки)  зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где на оси времени (наработки) расположен этот интервал. Параметр стационарного потока отказов является постоянной, не зависящей от времени величиной (t) =  = const.

Ординарным потоком случайных событий называется поток, характеризующийся тем, что вероятность попадания на элементарный малый интервал времени (наработки) t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Потоком без последействий называется поток событий, характеризующийся тем, что для любых двух конечных непересекающихся интервалов времени (наработки) ₁ и ₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другой. Свойство отсутствия последействий означает, что протекание потока после любого момента времени (наработки) не зависит от того, как протекал поток до этого момента.

Для простейшего (пуассоновского) потока отказов число отказов, имеющих место на интервале наработки длиной , является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. При этом вероятность попадания m отказов на интервал наработки длиной  составляет

, (4.29)

а наработка между отказами имеет экспоненциальное распределение

,

где параметр потока отказов  имеет смысл интенсивности отказов.

Средняя наработка на отказ в случае простейшего (пуассоновского) потока

.

Потоки отказов могут быть простыми, когда происходят отказы одинаковых или однородных составных частей объектов, и сложными, представляющими собой сумму n простых потоков, соответствующих определенным видам отказов разнородных составных частей объектов (механические, электромеханические, электронные, гидравлические и др.). Ведущая функция сложного потока отказов (математическое ожидание числа отказов объекта за суммарную наработку t) равна сумме ведущих функций составляющих простых потоков:

.

Дифференцируя последнее равенство по t, получим , т.е. параметр сложного потока отказов равен сумме параметров составляющих простых потоков.