2.3.4. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий

Во многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача нахождения таких численных факторов, при которых отклик достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом: требуется определить такие координаты экстремальной точки поверхности отклика, в которых она максимальна (минимальна).

Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта , при двух факторахипредставлена на рис.

Разработано множество методов пошаговой оптимизации, которые изучались в курсе «Методы оптимизации».

Дробный факторный эксперимент

Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, причем тем более, чем больше факторов (2 фактора — 4 опыта, 3 фактора — 8 опытов, 4 фактора — 16 опытов и т.д.).

Таким образом, ПФЭ обладает большой избыточностью (в случае, если факторы независимы и не определяются коэффициенты эффектов взаимодействия ). Возникает вопрос: как построить ортогональный план, позволяющий определить коэффициенты линейного уровня, который содержал бы меньшее число опытов, чем ПФЭ?

Пусть . Полный факторный эксперимент содержит 16 опытов (точек). Для получения линейной зависимости требуется 5 точек, а для выполнения свойств ортогональности — 6. Есть ли ортогональный план, для которого? Такой план существует. Это план для случаяпредставленный в таблице 3.3. т.к. мы считаем, что факторы независимы и эффекты взаимодействия равны 0, то можно воспользоваться для четвертой переменной любым из столбцов, характеризующих эффекты взаимодействия, например,.

Таблица 3.3

План дробного факторного эксперимента

№
1	+	+	+	+	+	+	+	+
2	+	–	+	+	–	–	–	+
3	+	+	–	+	–	–	+	–
4	+	–	–	+	+	+	–	–
5	+	+	+	–	–	+	–	–
6	+	–	+	–	+	–	+	–
7	+	+	–	–	+	–	–	+
8	+	–	–	–	–	+	+	+

Полученный план содержит половину опытов ПФЭ и носит название полуреплики. Используются также четвертьреплики, 1/8 реплики ит.д. Дробные реплики символически записывают следующим образом: , где— общее число факторов;— число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия;— число факторов в плане ПФЭ, к которому приравнивается дробная реплика. Целесообразность применения дробных реплик возрастает с ростом количества факторов.

3.3. Планирование второго порядка

Обычно исследователь начинает изучение объекта или процесса с моделей максимально низкого порядка, т.е. первого. Необходимость перехода к уравнениям второго порядка возникает либо когда есть априорная информация о существенной нелинейности модели (тогда исследование начинают с построения квадратичного уравнения регрессии), либо когда построенная линейная модель оказалась неадекватной (и тогда исследование продолжают, переходя к квадратной модели). Во втором случае желательно использовать максимум информации, извлеченной из линейного плана.

В случае квадратичной модели уже недостаточно варьировать факторы только на двух уровнях. Так, полное уравнение второго порядка для двух факторов

содержит 6 неизвестных коэффициентов регрессии, а варьирование на двух уровнях дает точки. В то же время полный факторный экспериментявно избыточен.

Существует ряд подходов к построению планов второго порядка, более экономных, чем ПФЭ и, в то же время, отвечающих требованиям оптимальности. Заметим, что, в отличие от линейных планов, в планах второго порядка не удается одновременно обеспечить сочетание всех свойств (ортогональности, ротатабельности и др.).

Один из подходов к построению планов второго порядка основывается на максимально возможном использовании информации, полученной при линейном планировании. Здесь планы второго порядка получают путем добавления точек (где— число факторов), называемых «звездными» точками, и точки в центре плана к плану ПФЭили ДФЭ. Предполагается, что в центральной точке может ставиться несколько опытов, число которыхзависит от свойств плана.

Тогда общее число опытов для плана второго порядка

,

где .

«Звездные» точки выбираются на осях факторного пространства, по две на каждой из осей, на равных расстояниях от центра плана (рис. 3.2). Расстояние от начала координат до «звездной» точки называется «звездным» плечом. Запишем план второго порядка дляи(табл. 3.4).

Таблица 3.4

План второго порядка для

№
1	+	–	–	+	+	+
2	+	+	–	–	+	+
3	+	–	+	–	+	+
4	+	+	+	+	+	+
5	+		0	0		0
6	+		0	0		0
7	+	0		0	0
8		0		0	0
9	+	0	0	0	0	0

Таким образом, здесь каждый из факторов варьируется на пяти уровнях:. В рассматриваемых планах расположение точек на осях не нарушает ортогональности столбцов первого порядка и эффектов взаимодействия. Это дает возможность получать независимыми соответствующие коэффициенты уравнения регрессии. Но здесь ортогональность плана нарушается для столбцови:

,

так как всегда равно единице, а неотрицательные величиныне могут быть все равны нулю.

Чтобы получить ортогональное планирование второго порядка, нужно произвести некоторое преобразование квадратичных переменных и оптимальным образом выбрать величину «звездного» плеча.