2. Идентификация модели системы

Построение математических моделей по результатам наблюдения входных и выходных переменных объекта получило название «идентификация».

При построении модели идентификации обычно предполагается, что физическая теория работы объекта отсутствует или по тем или иным причинам не может быть использована. Объект идентификации представляет собой так называемый «черный ящик» с некоторым числом регулируемых (или, по крайней мере измеряемых) входов х и одним или несколькими наблюдаемыми (измеряемыми) выходами y

Задачей идентификации является построение модели объекта по результатам наблюдений его реакции его реакции на возмущения внешней среды. В зависимости от того, доступны входы исследователю для управления или только для наблюдения, можно говорить про активный или пассивный эксперимент с ящиком.

При активном эксперименте исследователь вмешивается в процесс эксперимента путем варьирования уровней входных величин.

При пассивном эксперименте исследователь находится в роли пассивного наблюдателя. Эксперимент ведет сама природа. Экспериментатору приходится только фиксировать значения входных и выходных величин.

1. Постановка задачи идентификации

Математически задача идентификации формулируется следующим образом. Имеются n экспериментов для каждого из которых определен вектор входных параметрови известна (измерена) выходная функция системы.

В общем случае следует говорить о векторе выходных функций , однако при идентификации модели для каждой из этих функций строятсянезависимые друг от друга, что позволяет ограничиться рассмотрением скалярного выхода. Требуется построить зависимость (модель)

, (2.1)

которая описывает характеристики изучаемой системы.

Обычно предполагается, что входные параметры (факторы) взаимно независимы. Однако это условие при построении моделей идентификации в общем случае не является строго обязательным.

Уравнение (2.1) называется уравнением регрессии и описывает поверхность (гиперповерхность) отклика, характеризующую модель идентификации. Предполагается также, что именующиеся экспериментальные данные дают достаточно информации для воссоздания математического описания объекта.

Сформулированная задача в матричной форме может быть записана с помощью прямоугольной матрицы входов X и матрицы-столбца результатов

. (2.2)

Каждому эксперименту соответствует строка матрицы X и соответствующий элемент . Матрицы (2.2) невырождены, если эксперименты и переменные не связаны друг с другом.

2. Выбор формы модели идентификации

Построение модели идентификации начинается с выбора формы модели, т.е зависимости (2.1). При этом на практике может встретиться два случая.

1. Форма математической модели известна заранее

В этом случае задача идентификации сводится к определению коэффициентов этой модели. Так, например, описание ряда затухающих или развивающихся процессов дается зависимостями экспоненциального типа

и задачей исследований является определение коэффициентов a и b.

2. Форма математической модели заранее неизвестна

В этом случае для построения модели идентификации используется общее разложение функции в ряд Тейлора. Уравнение регрессии в этом случае можно записать в виде

(2.3)

При (2.3) принимает вид

. (2.4)

Если ограничиться первыми членами разложения, то уравнения (2.3) и (2.4) сведутся к рассмотрению линейным, квадратичным и другим полиномиальным моделям.

Рассмотрим метод нахождения коэффициентов уравнения регрессии на примере линейной модели.