X [XX → xY].

Более краткой записью выражения «X является подмножеством Y» будет запись

ХY,

что читается (так как символ означает включение) «X включено в Y», либо (что выражает одно и то же) «Y включает (содержит) X».

Если желают подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из X, то используют символ строгого включения :

XY.

Взаимно однозначное соответствие между множествами – свойство двух множеств, заключающееся в таком попарном соответствии их элементов, при котором по одному элементу как одного, так и другого множества входят в одну из пар.

Установление взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами наталкивается на трудности. За основу для сопоставления бесконечных множеств принято брать множество натурального ряда чисел N={0, 1, 2,…}.

Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натурального ряда чисел, то такое множество называют счётным.

Множество квадратов целых чисел {1, 4, 9,…, n²,…}, представляющее собой подмножество множества N натуральных чисел, является счётным, так как приводится во взаимно однозначной соответствие с множеством натурального ряда чисел путём приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Ещё более удивителен тот факт, что множество всех рациональных чисел, то есть чисел, которые могут быть представлены в виде дроби r=q/p, где q и p – любые целые числа (имеется возможность занумеровать эти числа).

Следует отметить, что не все бесконечные множества являются счётными.

Если бесконечное множество невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством натурального ряда чисел, то eгo называют несчётным.

Например, несчётным является множество всех действительных чисел интервала 0<x<1 (теорема с доказательством приведена в указанном источнике – учебном пособии Коршунова Ю.И., с.32).

Имея дело с множеством вещественных чисел, можно сравнивать элементы этого множества по их значению и, в частности, находить наибольший и наименьший элемен­ты множества.

Для конечных множеств, заданных пере­числением, эта задача не представляет труда. Так, для множества Г={4, 3, 5, 6} имеем maх Г=6, min Г=3.

Однако, если множество задано описательным способом, например, указано лишь правило вычисления числовых зна­чений его элементов, то задача определения наибольшего и наименьшего элементов становится весьма трудной, требующей выполнения того или иного количества расчётов.

Не­сколько более легкой задачей является нахождения лишь области, внутри которой лежат все элементы множества. При решении этой задачи очень полезными являются по­нятия верхних и нижних границ множества.

Пусть S – множество вещественных чисел.

Верхняя граница множества S – число С такое, что для любого xS имеет место хС.

Нижняя граница множества S – число с такое, что для любого xS имеет место хс.

Чисел, которые могут рассматриваться в качестве верхней и нижней границ множества, может быть беско­нечно много, а может и не быть вообще.

Так в множестве m<S<M любое СМ является верхней границей. Множество всех целых чисел не имеет верхней границы. С учётом этого, вводятся понятия:

точной верхней границы, называемой супремумом, для которой используется обозначение sup S;

точной нижней границы, называемой инфинумом, для которой используется обозначение inf S.

Супремум – верхняя граница множества, которая не превосходит любую другую верхнюю границу.

Инфинум – нижняя граница множества, не меньшая любой другой нижней границы.

В множестве m<S<M, приведенном выше в качестве примера, sup S =M, а inf S = m.

Множество может иметь только одну точную верхнюю границу и одну точную нижнюю границу, так как, например, если C₁ и С₂ две такие границы, то C₁С₂ и C₂С₁ и, сле­довательно, C₁=С₂.

Теорема (о верхней и нижней границах подмножества):

если ВА, то inf Вinf А, inf Вinf А.

Доказательство.

Обозначим через b' элемент мно­жества В, имеющий наименьшее значение, то есть b'ЄВ и b '= inf В.

Но В А то есть, с одной стороны, b'ЄА, а, с другой стороны, множество А имеет свой элемент а' = inf А с наименьшим значением. При этом если b'=а', то b'=inf А, а если b'а', то b' >а' = inf А, и таким образом, b'inf А или, что то же самое, inf Вinf А.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Наряду с понятием множества как совокупности эле­ментов важным понятием является понятие упорядоченного множества или кортежа.

Кортеж – множество, в котором каждый элемент занимает определенное место.

Сами элементы при этом называют компонентами корте­жа (первая компонента, вторая компонента и т. д.).

При­меры кортежей: множество людей, стоящих в очереди; множество слов в фразе; числа, расположенные в порядке возрастания и т. п. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называют его длиной. Для обозначения кортежа используем круглые скобки. Так, множество а=(а₁ а₂,...,а_п) является кортежем длины п.

Кортежи длиной 2 называют парами, а кортежи длиной п>2 именуют п-ками 3 (в частности, тройками, четверками и т. д.).

В отличие от обычного множества, в кортеже могут быть одинаковые элементы, например, в кортеже, представляющем множество слов в фразе, могут быть два одинаковых слова.

Частными случаями кортежей являются кортеж (а) дли­ной 1, пустой кортеж длиной 0, обычно обозначаемый ( ), а также кортежи, называемые точками пространства или векторами.

Вектор – упорядоченное множество, элементами которого являются вещественные числа.