Лекция 1 основные понятия теории множеств Основные определения

Множество – совокупность вполне определённых различимых элементов, рассматриваемых как единое целое.

В зависимости от предмета рассмотрения элементы множества могут быть самой различной природы.

При решении прикладных задач можно говорить о множестве людей, живущих в городе, множестве букв алфавита, множестве учитываемых факторов при оценке обстановки, множестве процессов химического производства, и таких примеров можно привести сколько угодно.

Элементами множества могут быть не только конкретные, но и абстрактные объекты. Например, вполне естественно говорить о множестве вещественных чисел, множестве символов, множестве функций и других объектов теоретических построений, в том числе о множестве возможных решений.

При абстрактном описании множества принято обозначать большими латинскими буквами X, Y, Z, M,…

Элементы множеств обозначаются соответственно малыми буквами x, y, z, m,…

Принадлежность элемента y_j множеству Y символически записывается в виде y_j Y, а запись x_i Y обозначает, что элемент x_i не принадлежит множеству Y.

Множества бывают конечными и бесконечными.

Конечное множество содержит вполне определённое число N элементов.

Бесконечное множество содержит бесконечно большое число элементов.

Существует два способа задания множеств – перечисление и описание.

При задании множества перечислением его общим обозначением служит пара фигурных скобок {}, внутри которых перечисляются, обычно через запятые, обозначения элементов множества.

Например, конечное и бесконечное множества соответственно записываются как Y={y₁,y₂,…,y_n} и Z={0, 1, 2,…}.

Для сокращения записи иногда конечное и бесконечное множества, используя индексы, записывают в виде Y={y_j} (j=1,…,n) и Z={i} (i=1,2,3…) соответственно.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается свойство, которым обладают все элементы множества.

Несколько примеров задания множеств методом описания:

1) множество М чётных чисел может быть записано в виде М={x│x – чётное число} (что читается так: множество М состоит из элементов x, обладающих тем свойством, что x является чётным числом);

2) {x│x² – 1=0} – множество {+1, –1};

3) если С – множество целых чисел, то {xС│0<x7} есть множество {1,2,3,4,5,6,7};

4) А={x│x – отличник группы} – множество А отличников.

Из определения множества следует, что в нём не должно быть неразличимых (одинаковых) элементов: запись {2, 2, 3, 5} следует рассматривать как некорректную и заменить её на {2, 3, 5}.

устое множество – множество, не содержащее ни одного элемента.

Пустое множество, которое будем условно относить к конечным множествам, обозначается символом _{, например,} {xС│x² – x +1=0}=.

Равные множества – множества, состоящие из одних и тех же элементов.

Равные множества X и Y представляют собой одно и то же множество Х= Y.

Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.

Неравные множества Х1 Y1, если либо в множестве X есть элементы, не принадлежащие, либо в множество Y есть элементы, не принадлежащие X.

Символ равенства множеств обладает свойствами:

рефлексивность (Х=Х);

симметринностъ (если X=Y, то Y=X);

транзитивность (если X=Y и Y=Z, to X=Z)

Подмножество множества Y – множество X, любой элемент которого принадлежит множеству Y.

Пусть Y – множество студентов группы, a Y – множество отличников той же группы. Так как каждый отличник группы является в то же время студентом этой группы, то множество X является подмножеством множества Y.

Универсальное множество – множество, для которого все отличающиеся от него другие рассматриваемые множества являются подмножествами.

Многие определения теории множеств удобно давать в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы. Для определения подмножества ис­пользуем два таких символа.

–символ, называемый квантором общности, означающий «для всех» (любой, каков бы ни был);

→ – символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».

Определение подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого х утверждение «х принадлежит X» влечет за собой утверждение «х принадлежит Y», запишется так: