- •30 AnGeom
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Типы уравнений прямой.
- •3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.
- •Линейные образы в r3
- •4. Понятие алгебраической поверхности.
- •4.А. Плоскость.
- •5. Прямая линия в пространстве.
- •5.А. Канонические уравнения прямой в пространстве.
- •5.Б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
- •6. Угол между двумя прямыми. За угол между двумя прямыми
- •7. Прямая и плоскость.
- •Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.
- •Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.
- •8. Кривые второго порядка.
- •8.А Окружность
- •8.Б. Эллипс (в декартовой системе координат)
- •8.В. Гипербола
- •Каноническое уравнение гиперболы
- •8.Г. Парабола
- •Пример 18. Установить, что уравнение
- •Полярная система координат.
- •Связь между прямоугольными и полярными координатами.
8.В. Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, постоянна и равна (рис. 16).
Фокальная ось гиперболы ;, – фокальные радиусы гиперболы,
соответствующие точке .;, ( по свойству сторон треугольника).
Каноническое уравнение гиперболы
.
Обозначим , тогда уравнение гиперболы примет вид:
. (34)
Вершины гиперболы: – вещественные вершины;– мнимые вершины.
Прямые являются асимптотами гиперболы (рис. 17).
Гипербола состоит из двух несмыкающихся ветвей, лежащих в углах между прямыми ,и неограниченно приближающихся к этим прямым.вещественная ось,– мнимая ось.
Эксцентриситет гиперболы .
Директрисы гиперболы обладают тем свойством, что отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Уравнение директрис или.
8.Г. Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной прямой (директрисы) и заданной точки (фокуса). Пусть точка – фокус. Прямая– директриса параболы;– произвольная точка параболы,параметр параболы.
По определению параболы . Уравнение параболы с вершиной в точкеи директрисой(см. рис. 18) , заданной уравнением, имеет канонический вид:
. (35)
Замечание: если положить, то, то есть(). Эксцентриситет параболы = 1.
Другие виды параболы:
2) (рис. 19) - парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.
3)- (рис. 20.) парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.
4) - (рис. 21.) парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.
Пример 18. Установить, что уравнение
определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, координаты фокусов,, эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж.
Решение.
1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки:
.
Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть:
,
,
.
Разделим обе части уравнения на 45, получим
.
2. Введем новую систему координат , полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:
(1).
Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:
, .
Это есть канонический вид эллипса с центром , большой полуосью, малой полуосью. Фокусы эллипса располагаются на осина расстоянииот начала координат, в точках,в новой системе координатXOY.
Вычисляем, ,,. Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством. Отсюда. Директрисы эллипса в системеXOY задаются уравнениями . В нашем случае,.
3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе , воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат:
центр : , ,
фокусы : , , : , .
Уравнения директрис: .
4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат образуем новую систему координаттак, чтобы новое начало координатсовпадало с точкой. При указанном выборе, оси координат системыявляются осями симметрии эллипса, а точка- центром симметрии. Теперь симметричнопо осиотложим отрезки длины, а по осиотрезки длины.
Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси симметрично относительнона расстоянииотложим точки,- фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями, то они располагаются параллельно , причем одна из них проходит через точку , другая через.
Остальные примеры в другом файле.