Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть имеем две прямые:

и .

Отсюда, направляющие вектора этих прямых ,и точки,лежат на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторыи₂ компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов: или

. (32)

Условие (32) является также критерием пересечения двух прямых.

Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:

1. параллельны,,

2. пересекаются,

3. прямые (1) и (2) скрещиваются (рис. 12), следовательно, . Тогда возникает вопрос об определении расстояния между скрещивающимися прямыми, как высоты параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах:

.

Пример 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым :

: и: .

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой и параметрического уравнения прямой получим координаты их направляющих векторови. Условие компланарности этих трех векторовдает уравнение плоскостиα:

.

Пример 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую:

.

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор .

Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор определяется из равенств:

.

Так как , , то .

На прямой зафиксируем произвольную точку. Координатынайдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например,:

.

Решая эту систему, получим ,. Таким образом,. Соединив точкии, получим вектор, принадлежащий плоскостиα.

Для любой точки выполняется условие компланарности векторов. И, так как

не параллелен , то уравнение плоскости дается равенством:

Пример 10. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые

: и:.

Решение.

Из канонического уравнения прямой найдем координаты некоторой точки , расположенной на : и, соединив ее с текущей точкой, образуем текущий вектор.

Из уравнений прямых получим направляющие вектора ,, которые, как и прямые , , принадлежат плоскости . Так как для любой точки выполняется условие компланарности векторов, ане параллелен₂, то искомая плоскость описывается уравнением:

Остальные семь примеров в другом файле.

8. Кривые второго порядка.

Порядком алгебраического уравнения называется высшая степень входящего в уравнение неизвестного. Порядок кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости.

Общий вид кривой 2-го порядка:

К кривым 2-го порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.

8.А Окружность

Пусть – центр окружности радиуса, тогда уравнение окружности имеет вид:

8.Б. Эллипс (в декартовой системе координат)

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна и равна (рис. 13).

Пусть фокусами эллипса являются точки и, при этоместь фокальная ось эллипса.– некоторая точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса, для любой его точки, имеем:

Пусть ось совпадает с фокальной осью. Начало координат выберем посередине между фокусамии, а осьперпендикулярно фокальной оси. При таком выборе системы координат уравнение эллипса примет вид:

.

Действительно, согласно рисунку 13, . Следовательно,.

Аналогично . Отсюда, по определению,

Преобразуем полученное уравнение эллипса.

Отсюда получаем искомое уравнение эллипса.

Так как из следует, чтот.е., то полагаюти получаютканоническую (простейшую) форму уравнения эллипса:

. (33)

Эксцентриситет эллипса: .

–вершины эллипса, a директрисы имеют уравнения: (рис. 14).

Параметрические уравнения эллипса (рис. 15):