u_lectures
.pdf
Координату середины поля рассеяния замыкающего звена вычисляют по формуле:
m−1 |
|
ω = ∑ξi ωi |
(4.20) |
i=1
Координату центра группирования отклонений замыкающего звена М (х) вычисляют по формуле
|
|
m−1 |
|
ξi |
|
ωi |
|
||
M (x) |
= ∑(ξi ωi +αi |
|
|
|
(4.21) |
||||
|
|
||||||||
|
2 |
||||||||
|
|
i=1 |
|
||||||
Коэффициент относительной асимметрии i-ro звена аi , вычисляют по |
|||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αi = |
M (xi ) − ωi |
|
|
|
|
|
(4.22) |
||
|
ωi / 2 |
|
|
|
|
||||
Поле рассеяния замыкающего звена сод вычисляют по следующим формулам:
при расчете по способу максимума-минимума:
m−1
ω = ∑ξi ωi
i=1
при вероятностном способе расчета
m−1
ω = t ∑ξi2λi2ωi2
i=1
Относительное среднее квадратическое отклонение
λi = 2σi
ωi
где σi – среднее квадратическое отклонение.
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Наибольшую возможную компенсацию δк рассчитывают по формуле
δK =T ′ −T |
|
|
(4.26) |
|||
Величина поправки к определяется по формуле: |
|
|||||
|
δK |
|
m−1 |
|
|
|
K = |
+∑ξi |
′0 − 0 |
(4.27) |
|||
|
||||||
2 |
|
i=1 |
|
|
||
Число ступеней неподвижных компенсаторов N рассчитывают по
формуле
N = |
|
T |
′ |
(4.28) |
|
T |
−T |
||||
|
|
||||
|
|
|
комп |
|
|
где Tкомп – допуск на изготовление неподвижного компенсатора.
Примеры постановки задачи, нахождения замыкающего звена и его допуска, выявления размерной цепи и расчетов допусков и предельных отклонений рассмотрены в п. 4.5.2.
4.5.2. Последовательность расчетов
Последовательность расчетов размерных цепей приведена в таблице 4.5.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наименование этапа |
|
|
|
Номер |
|||
|
|
|
|
|
формулы |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА |
|
|
|
|
||
1. |
Формулируется задача и устанавливается замыкающее звено |
- |
|
||||||
2. |
Исходя из поставленной задачи, устанавливают номинальный |
- |
|
||||||
размер, координату середины поля допуска |
0 . допуск |
или |
|
|
|||||
предельные отклонения замыкающего звена |
|
|
|
|
|
||||
3. Выявляют составляющие звенья и строят схему размерной |
- |
|
|||||||
цепи, составляют ее уравнение и определяют передаточные |
|
|
|||||||
отношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Рассчитывают номинальные |
размеры |
всех |
составляющих |
(4.12) |
|
|||
звеньев |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Выбирают |
метод |
достижения требуемой |
точности |
(4.16 и |
|
|||
замыкающего звена, экономичный в данных производственных |
4.17) |
|
|||||||
условиях, с учетом средней величины допуска |
|
|
|
|
|||||
6. |
Рассчитывают и устанавливают допуски, координаты середин |
|
|
||||||
полей допусков и предельные отклонения: |
|
|
|
|
|
||||
а) при методе полной взаимозаменяемости: |
|
|
|
(4.14) |
|
||||
на |
основе технико-экономических соображений устанавливают |
|
|
||||||
допуск на размер каждого из составляющих звеньев; проверяют |
|
|
|||||||
правильность |
установленных |
допусков; |
устанавливают |
|
|
||||
координаты середин полей допусков составляющих звеньев, за |
|
|
|||||||
исключением одного, для которого координата середины поля |
|
|
|||||||
допуска рассчитывается решением уравнения с одним |
|
|
|||||||
неизвестным; рассчитывают верхнее и нижнее предельные |
|
|
|||||||
отклонения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) приметоденеполнойвзаимозаменяемости: |
|
|
|
|
|
||||
из экономических соображений принимают допустимый процент |
|
|
|||||||
риска; выбирают предполагаемые законы распределения каждого из |
|
|
|||||||
звеньев, исходя из особенностей технологического процесса |
(4.15) |
|
|||||||
изготовления деталей, и |
соответствующие |
им |
относительные |
|
|
||||
средние квадратические отклонения; на основе технико- |
(4.13) |
||||||
экономических соображений устанавливают допуск на размер |
|||||||
каждого составляющего звена; проверяют правильность |
(4.18 и |
||||||
установленных допусков; устанавливают координаты середин полей |
4.19) |
||||||
допусков |
для (т – 2) составляющих звеньев, |
недостающую |
|
||||
координату определяют расчетом; рассчитывают предельные |
|
||||||
отклонения; |
|
|
|
|
|
|
|
в) при методе групповой взаимозаменяемости: по технико- |
|
||||||
экономическим |
соображениям |
|
устанавливают |
|
|||
«производственный» допуск Т ' замыкающего звена по формуле |
(4.14) |
||||||
Т '= nТ |
|
|
|
|
|
|
|
где п – число групп, на которые будут рассортированы |
|
||||||
составляющие звенья; |
|
|
|
|
|
||
рассчитывают производственные допуски Тi' на размер каждого |
|
||||||
составляющего звена с соблюдением условия: |
|
|
(4.13) |
||||
k v |
m−1 s |
′ |
|
|
|
|
|
∑Ti |
′= ∑Ti |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=k +1 |
|
|
|
|
|
|
рассчитывают координаты середин полей допусков |
|
|
|||||
составляющих звеньев в каждой из групп; |
|
|
|
||||
на повороты и отклонения формы поверхностей деталей допуски |
|
||||||
устанавливают как при методе полной взаимозаменяемости; |
|
||||||
г) при методе пригонки: выбирают компенсирующее звено; |
|
||||||
устанавливают экономичные в данных производственных |
|
||||||
условиях допуски на размеры всех |
составляющих звеньев и |
|
|||||
координаты середин полей допусков; определяют |
|
(4.14) |
|||||
производственный допуск Т ' ; |
|
|
|
(4.26) |
|||
рассчитывают наибольшую возможную компенсацию бк; |
(4.27) |
||||||
рассчитывают величину поправки |
к; |
|
|
|
|||
вносят поправку в координату середины поля допуска |
|
||||||
компенсирующего звена; |
|
|
|
|
|
||
д) при методе регулирования: |
|
|
|
|
|
||
выбирают компенсирующее звено, которое конструктивно может |
|
||||||
быть оформлено в виде неподвижного или подвижного |
|
||||||
компенсатора; |
|
|
|
|
|
|
|
при использовании неподвижного компенсатора: устанавливают |
(4.26) |
||||||
допуски на размеры всех составляющих звеньев, экономически |
|||||||
приемлемые в данных производственных условиях и определяют |
(4.28) |
||||||
производственный допуск Т ' |
замыкающего звена; |
|
|
||||
рассчитывают наибольшую возможную компенсацию бк; |
|
||||||
рассчитывают число ступеней неподвижных компенсаторов; |
|
||||||
рассчитывают |
координаты |
середин |
полей |
допусков; |
|
||
рассчитывают |
размеры |
неподвижных |
компенсаторов; |
|
|||
рассчитывают количество неподвижных компенсаторов каждой |
|
||||||
ступени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА |
|
|
|||
1. Ставится и четко формулируется задача |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Рассчитывают номинальное значение размера замыкающего |
(4.12) |
|
звена |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Рассчитывают: |
|
(4.13) |
а) |
при теоретических расчетах: |
||
координату середины поля допуска замыкающего звена; величину |
(4.14, |
||
поля допуска замыкающего звена и его предельные отклонения; |
4.15, 4.18, |
||
при расчетах на основе теории вероятностей рассчитывают |
4.19) |
||
возможный риск выхода размера замыкающего звена за пределы |
|
||
заданного допуска; |
|
(4.25 и |
|
б) при расчетах, исходя из фактических данных, определяют |
|||
поля рассеяния, координаты их середин (центров группирования) |
4.22) |
||
и, если необходимо, строят кривые рассеяния всех составляющих |
(4.23 и |
||
звеньев; |
|
4.24) |
|
определяют относительные средние квадратические отклонения и |
|
||
коэффициенты асимметрии кривой рассеяния каждого из |
(4.20) |
||
составляющих звеньев; |
|
||
рассчитывают поле рассеяния замыкающего звена; рассчитывают |
|
||
возможное значение |
координаты середины поля рассеяния |
|
|
замыкающего звена; |
|
(4.21) |
|
в случае необходимости рассчитывают координату центра |
|
||
группирования размеров замыкающего звена; при необходимости |
|
||
рассчитывают возможный выход отклонений замыкающего звена |
|
||
за пределы его поля допуска |
|
||
4.5.3. Примеры расчетов допусков (прямая задача)
Пример 1. Задача: обеспечить требуемый зазор между торцами зубчатого колеса и проставочного кольца механизма (рис. 4.39).
Рис 4.39. Схема размерной цепи
Замыкающим звеном является размер А , связывающий торцы зубчатого колеса и проставочного кольца. Из служебного назначения механизма следует, что минимальный зазор должен быть равен 0, а максимальный – 0,2 мм. Следовательно, поле допуска на зазор будет равно:
ТА =0,2-0=0,2 мм,
а координата середины поля допуска:
oA |
= |
0,2 +0 |
= +0,1мм |
|
2 |
||||
|
|
|
Уравнение размерной цепи, определяющей величину зазора, согласно рис. 29
А =-А1+А2-А3
Задача решается пятью методами достижения требуемой точности замыкающего звена с целью их сопоставления.
1. Метод полной взаимозаменяемости
При этом методе должно быть соблюдено условие
m−1
∑ξAi TAi = TA i=1
в линейной размерной цепи |ξAi| = 1.
Учитывая степень сложности достижения требуемой точности составляющих звеньев, устанавливаем подбором: TAI=0,03 мм, ТAi =0,15 мм, ТAi
=0,02 мм.
Принимаем координаты середин полей допусков oAi = +0,075 мм.
Координату середины поля допуска третьего звена находим из уравнения:
|
n v |
m−1 s |
|
oA1 + |
oA2 − oA3 |
|
оА = ∑ oAi − |
∑ oAi |
= − |
||
|
i=1 |
n+1 |
|
|
|
0,1=0,015+0,075- |
oAi |
|
|
|
|
Следовательно, |
oAi = - 0,01 мм. |
|
|
|
|
Правильность назначения допусков проверяем по формулам (7), (8) |
|||||
настоящего пособия, представив значения |
oA |
и ТA |
соответственно через oAi |
||
и ТAi установленные при расчете допусков: |
|
|
|
||
HA
BA
=
=
oA |
− |
TA |
= 0,015 +0,075 +0,01− |
0,03 +0,15 +0,02 |
= 0; |
|||
|
|
2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
oA |
+ |
TA |
|
= 0,015 +0,075 +0,01+ |
0,03 +0,015 +0,02 |
= 0,3мм |
||
|
2 |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
Сопоставление с условиями задачи показывает, что допуски установлены верно.
2. Метод неполной взаимозаменяемости
Задаем значения коэффициента риска t и относительного среднего квадратического отклонения λАi .
Допустим, что в данном случае риск Р=1%, при котором t =2,57, экономически оправдан.
Полагая, что условия изготовления деталей таковы, что распределение отклонений размеров будет близким к закону Гаусса, принимаем: λ2Ai = 1/9.
Учитывая трудности достижения требуемой точности каждого составляющего звена, устанавливаем подбором следующие величины полей
допусков: TA1=0,1 мм; TA2= 0,20 мм; TA3= 0,06 мм.
Правильность подбора допусков можно проверить по формуле (4):
m−1
ТА = t ∑ξAi2 λ2AiTAi2 = 2,57
1/ 9(0,12 +0,22 +0,062 ) = 0,2мм
i=1
Устанавливаем следующие координаты середин полей допусков: oA1 =
0; oA2 = 0,l мм. |
|
Значение oA3 находим из уравнения: |
|
oA =- oA1+ |
oA2- oA3 |
0,1=0+0,1- |
oA3; |
oA3=0
Правильность установленных допусков может быть проверена по формулам:
BAi = (∑roAi − ∑soAi ) − t |
∑ξAi2 |
λ2Ai (TAi ) = 0,10 − 0,1 = 0мм |
||||
n |
m−1 |
m−1 |
|
2 |
|
|
i=1 |
n+1 |
i=1 |
2 |
|
||
BAi = (∑roAi − ∑soAi ) + t |
∑ξAi2 |
λ2Ai (TAi ) = 0,1 + 0,1 = 0,2мм |
||||
n |
m−1 |
m−1 |
|
2 |
|
|
i=1 |
n+1 |
i=1 |
2 |
|
||
Предельные отклонения размеров составляющих звеньев:
A1±0,05 , A2±0,2 , A3±0,03.
3. Метод групповой взаимозаменяемости
При решении задачи методом групповой взаимозаменяемости, прежде всего необходимо установить число групп, на которые должны быть рассортированы детали после изготовления, и значение производственного допуска замыкающего звена.
Допустим, что расширение TA в три раза в данном случае является экономически обоснованным, в связи с чем число групп п равно 3.
Таким образом, T΄A +TA *n=0,2*3=0,6 мм
При расчете допусков должно быть соблюдено условие
k |
|
r |
m−1 |
|
s |
|
∑ |
ξi |
Ti |
′= ∑ |
ξi |
Ti |
′ |
i=1 |
|
|
k +1 |
|
|
|
где Ti′и Ti′ – допуски увеличивающих и уменьшающих звеньев. Согласно этому условию
T΄A2= T΄A1+ T΄A3=1/2 T΄A
Отсюда
T΄A2=1/2 T΄A =0,3мм
и
T΄A1+ T΄A3=1/2 T΄A =0,3мм
Сообразуясь со степенью сложности изготовления деталей, установим T΄A = 0,24 мм и T΄A3 =0,06 мм. Устанавливаем поля допусков и координаты их середин для деталей каждой группы (табл. 4.6).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.6 |
||
Группа |
T΄A1 |
oA1 |
|
oA2 |
oA3 |
|
TA3 |
oA3 |
TA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0,08 |
-0,04 |
|
0,1 |
+0,05 |
|
0,02 |
-0,01 |
0,2 |
+0,1 |
|
II |
0,08 |
+0,04 |
|
0,1 |
+0,15 |
|
0,02 |
+0,01 |
0,2 |
+0,1 |
|
III |
0,08 |
+0,12 |
|
0,1 |
+0,25 |
|
0,02 |
+0,03 |
0,2 |
+0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При назначении координат середин полей допусков уравнение |
|
|
|||||||||
должно быть следующего вида |
oA |
=- oA1+ |
oA2- |
oA3 |
|
|
|
||||
Две последние колонки табл. 3 показывают, что при соединении деталей в каждой из групп требуемые пределы зазора будут обеспечены.
Предельные отклонения размеров составляющих звеньев приведены в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Группа |
А1 |
А2 |
А3 |
|
|
|
|
|
|
I |
- 0,08 |
+ 0,1 |
- 0,02 |
|
II |
+ 0,08 |
+0,2 |
+0,02 |
|
+0,1 |
||||
|
|
|
||
III |
+0,16 |
+ 0,3 |
+ 0,04 |
|
+ 0,08 |
+ 0,2 |
+0,02 |
||
|
4. Метод пригонки
Для достижения требуемой точности зазора методом пригонки выберем в качестве компенсирующего звена размер А3 проставочного кольца, изменение которого проще всего осуществить.
Установим на составляющие звенья экономически целесообразные значения полей допусков и координаты их середин (табл. 4.8.).
Таблица 4.8
Звено |
T΄Ai |
|
Δ΄oAi |
А1 |
0,3 |
|
- 0,15 |
А2 |
0,4 |
|
+ 0,2 |
А3 |
0,1 |
|
+ 0,25 |
|
|
|
|
Тогда производственный допуск замыкающего звена расширится до значения:
m−1
Т′А = ∑ξAiTAi′ = 0,3 +0,4 +0,1 = 0,8мм
i=1
Наибольшая величина компенсации может быть равной
δК= T΄A - TA =0,8-0,2=0,6 мм.
Для того, чтобы создать на звене A3 необходимый для пригонки слой материала, в координату середины поля допуска этого звена следует ввести поправку к
K |
= |
δK |
+ ′oA − |
oA |
= |
0,6 |
+(0,15 +0,2 −0,25) −0,1 = 0,3мм |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Поэтому следует установить
oAз=0,25+0,3=0,55 мм.
Предельные отклонения размеров составляющих звеньев:
+0,6 A1−0,3 ; А2+0,4 ; А3+0,5
5. Метод регулирования с применением неподвижного компенсатора
Выберем в качестве компенсатора то же звено, что было взято при решении задачи по методу пригонки, и установим следующие допуски Т'Ai : 0,2 – для звена Аi; 0,4 – для звена А2; 0,05 – для звена Аз.
Вразмерной цепи А компенсации подлежат отклонения только звеньев А1
иА2, которые в сумме могут составлять
m−2
Т′A = ∑ξAiTAi′ =TA′1 +TA′2 = 0,2 +0,4 = 0,6мм
i=1
Всоответствии с этим наибольшая величина компенсации будет
δК= T΄A - TA =0,6-0,2=0,4 мм.
Число ступеней компенсаторов вычисляют по формуле
N = |
|
|
TA′ |
|
|
|
T |
A |
−T |
|
|
||
В данной задаче |
|
|
комп |
|||
|
|
0,6 |
|
|
||
N = |
|
|
= 4 |
|||
0,2 |
|
−0,05 |
||||
С целью упрощения расчета размеров компенсаторов рекомендуется назначать координаты середин полей допусков составляющих звеньев так, чтобы совместить одну из границ расширенного поля допуска замыкающего звена с соответствующей границей его поля допуска, заданного служебным назначением изделия.
В связи с этим, при совмещении нижних границ полей допусков
замыкающего звена (рис. 4.40.), необходимо соблюсти условие:
′нА |
= |
нА |
; |
|
|
|
||
′оА |
− |
Т′А |
|
= |
нА |
; |
||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
Т′А |
|
|
||
′оА |
= |
нА |
+ |
|
; |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
|
0,6 |
|
|
|||
′оА |
= 0 + |
= 0,3мм |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку компенсации подлежат отклонения звеньев А1 и А2, то в расчете координат середин полей допусков компенсатор участвовать не должен.
Координата середины его поля допуска должна быть установлена независимо от координат середин полей допусков составляющих звеньев А1 и А2. С целью упрощения расчета размеров компенсаторов рекомендуется задавать координату середины поля допуска компенсирующего звена равной половине его поля допуска со знаком минус.
В данной задаче
′оА3 |
= − |
Т′А3 |
= − |
0,05 |
= −0,025мм |
|
2 |
2 |
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Установим |
′оА = − |
′оА1 + ′оА2 = 0,3мм |
||||
|
|
|
|
|
||
Δ΄oA1 = - 0,1 мм и Δ΄oA2 =0,2 мм.
При установленных координатах середин полей допусков звеньев А1 и А2 после допуска Т'А займет относительно заданного поля допуска ТА положение, показанное на рис. 4.40.
При величине ступени компенсации, равной
ТА -Ткомп= 0,2-0,05=0,15 мм
и числе групп компенсаторов N=4, поле производственного допуска Т'А будет разбито на четыре зоны с границами, показанными на рис. 30. Отклонения, возникающие в пределах той или иной зоны, должны компенсироваться путем постановки в изделие соответствующего поставочного кольца (компенсатора).
Размер компенсатора первой ступени равен его номинальному размеру. Размеры компенсаторов каждой следующей ступени будут отличаться от размеров компенсаторов предшествующей ступени на величину ступени компенсации.