7. Линейные уравнения первого порядка

Линейным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции и ее производной, то есть уравнение вида

.

Здесь ,,– непрерывные функции от. В области, где, это уравнение равносильно уравнению вида.

Линейное уравнение в общем случае, то есть когда , называютнеоднородным линейным уравнением первого порядка. Если b (x) ≡ 0, уравнение является однородным, причем однородное линейное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными. На этом основан способ решения неоднородных линейных уравнений – метод вариации постоянной. Получив решение однородного уравнения в видеy = f (x, C), считают, что решение исходного уравнения имеет такой же вид, но С = С (х) – не постоянная, а функция от х, вид которой можно определить, подставив y = f (x, C (х)) в данное уравнение. Линейное неоднородное уравнение решается и с помощью замены .

Типовые примеры

1) Найти общее решение уравнения

►Решим однородное уравнение

.

Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде

у = С (х)∙е^-2х. .

Подставим y и y’ в исходное уравнение ,

где – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения

◄

2) Найти общее решение .

►Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное: . Решим его:,,.

По методу Лагранжа общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде , где– неизвестная функция.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

.

Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-го порядка:

, ,.

Окончательно общее решение нашего уравнения имеет вид

. ◄

8. Уравнение Бернулли

К линейному можно привести и уравнение вида называемоеуравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция , для которой. Разделим обе части уравнения (9) нау ^п:

или линейное уравнение для функцииz.

Типовой пример

Найти общий интеграл уравнения .

►Разделим обе части равенства на у²: и сделаем замену:. Решим уравнение дляz: . Однородное уравнение:

. Подставим полученные выражения в неоднородное уравнение: ◄

9. Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение называетсяуравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных , что. Данное равенство означает, чтои.

Известно, что если в односвязной области частные производныеинепрерывны, тоявляется полным дифференциалом только в том случае, когда выполняется равенство.

В этом случае функция , полным дифференциалом которой является, выражается следующим образом:

.

Рис. 1

Здесь – любая кривая в области, соединяющая фиксированную точкуэтой области, в которой, с точкой. В частности, еслиимеет вид ломаной, изображенной на рис. 1, то формула принимает вид

.

Так как , то(– константа) и решение уравнения имеет вид

.

Другая эквивалентная формула решения уравнения имеет вид

.

Здесь в качестве иберутся любые численные значенияи, при которыхиимеют смысл. Обычноивыбирают так, чтобы правая часть решения имела более простой вид.

■▬▬▬►

2. Если в области D не выполнено условие , то иногда удается найти в D такую функцию , что уравнение

является в области D уравнением в полных дифференциалах.

Если известно, что , где– известная дифференцируемая вD функция, то интегрирующий множитель m удовлетворяет дифференциальному уравнению

_.

Если известно, что , тоудовлетворяет уравнению

_.

Если известно, что , тоудовлетворяет уравнению

_.

◄▬▬■

Типовой пример

Решить уравнение

.

►Здесь ,. Выясним, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Найдеми:

,

причем частные производные непрерывны. Применим формулу

В силу произвольности константы и произвольного выбораи(которые также являются постоянными) обозначим за единую константу. Тогда общий интеграл имеет вид

.

Итак, – общее решение дифферен­циаль­ного уравнения. ◄

Типовые примеры

1) Решить задачу Коши для уравнения , еслиу(1) = 1.

►Проверим, действительно ли перед нами уравнение в полных дифференциалах: условие выполнено. Для поискаU (x, y) зададим х₀ = у₀ = 0,

тогда

При х = у =1 найдем С из равенства е^х + ху – е^у = С: е + 1 – е = С, С = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

е^х + ху – е^у = 1. ◄

2) Найти общее решение .

►Введем обозначения:

.

Так как;, а следовательно, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его левая часть есть полный дифференциал, причем

Далее

,

то есть

, , а,.

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или

. ◄

₃₎ ,D Ì R²xy.

►, ,,,.

Ищем интегрирующий множитель. Выражение

не зависит от у.

Считая его доопределенным при , решаем уравнение.

Имеем . Прямая. Очевидно, есть одно из решений исходного уравнения. Считая, умножаем обе части уравнения на, получаем уравнение, откуда находим

Следовательно, –общий интеграл (решениеполучается в общем интервале при С=¥). ◄