4.Векторы и векторные функции

Сложение векторов:

a + 0 = a,

a + b = b + a,

a + (b + c) = (a + b) + c.

Умножение вектора на число:

λ a = a λ, λ (µ a) = (λ µ) a, λ (a + b) = λ a + λ b, (λ + µ) a = λ a + µ a.

Необходимое

и

достаточное

условие

коллинеарности

векторов

a

=

(a1;

a2;

a3),

b = (b1; b2; b3):

a1 a2

=

a1 a3

=

a2 a3

= 0.

b

b

b

b

b

b

1

2

1

3

2

3

Необходимое

и

достаточное

условие

компланарности

векторов

a

=

(a1;

a2;

a3),

b = (b1; b2; b3),

c = (c1; c2; c3):

a1

a2

a3

= 0 .

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b — число, равное произведению

длин векторов на косинус угла между ними:

(a,b)

=| a

| | b | cos ϕ,

)

ϕ = (a,b .

Другие обозначения:

(a b),

a b, ab.

Свойства

скалярного

произведения:

(a, b)

= (b, a),

((ka), b) =

k (a, b),

(a, (b + c)) = (a, b) + (a, c),

(a,b)2 ≤ (a,a) (b,b) (неравенство Коши–Буняковского).

Скалярное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3)

в координатах:

(a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 .

Угол между векторами a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):

cos ϕ =

(a,b)

=

a1b1 + a2b2 + a3b3

.

a

b

a12 + a22 + a32

b12 + b22 + b32

Векторное произведение двух векторов

a и b — вектор [a, b]:

1) модуль вектора [a, b] равен | a | | b | sin ϕ

( ϕ = (a, b) );

2) вектор [a,

b]

перпендикулярен как a,

так и b ;

3) упорядоченная тройка векторов (a; b; [a,b]), отложенных от одной точки, образует пра-

вый базис.

Другие обозначения:

[a×b],

a×b.

Векторное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3)

в координатах:

[a,b] =

a

a

;

a

a

;

a

a

2

3

3

1

1

2

.

b2 b3

b3 b1

b1 b2

Свойства векторного произведения:

[a, b] = – [b, a],

[(α a), b] = α [a, b]

(α — число),

[(a + b), c] = [a, c] + [b, c],

[a, [b, c]] = b (a, c) – c (a, b),

[[a, b], c] = b (a, c) – a (b, c).

Смешанное (скалярно-векторное) произведение <a, b, c> трех ненулевых некомпланар-

ных векторов,

заданных

своими

координатами относительно

правого базиса

(i, j,

k):

28

II.4. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

a,b, c =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

.

c1 c2 c3

Свойства смешанного произведения:

<a, b, c> = ([a, b], c) = ([b, c], a) = (c, [a, b]) = – (b, [a, c]).

4.2. Некоторые формулы векторного анализа.

Градиент скалярной функции f(r):

∂f

∂f

∂f

в декартовой системе координат xyz: grad f =

;

;

;

∂x

∂y

∂z

∂f

1 ∂f

1 ∂f

в сферических координатах r, 2, n:

grad f =

;

;

;

∂r

r ∂θ

rsin θ ∂ϕ

в цилиндрических координатах ρ, ϕ, z:

grad f =

∂f

1 ∂f

∂f

;

;

.

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

Дивергенция векторной функции F:

∂Fx

∂Fy

∂Fz

в декартовой системе координат xyz:

div F =

+

+

;

∂x

∂y

∂z

в сферических координатах r, 2, n:

1 ∂

2 *

1

∂

*

1

∂Fϕ*

div F =

(r

F ) +

(sin

θ F )

+

,

r2 ∂r

r

r sin θ ∂θ

θ

rsin θ

∂ϕ

где F*, F*, Fϕ* — физические компоненты вектора F;

r

θ

1

∂

(ρF*)

1 ∂Fϕ*

∂F*

в

цилиндрических координатах

ρ,

ϕ,

z: div F =

+

+

z

, где

ρ ∂ρ

ρ ∂ϕ

ρ

∂z

i

j

k

в декартовой системе координат xyz:

rot F =

∂

∂

∂

, или

∂x

∂y

∂z

Fx

Fy

Fz

∂F

∂Fy

∂F

∂F

∂Fy

∂F

rot F =

z −

;

x −

z

;

−

x

;

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

30

II.4. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Свойства ковариантной производной:

i (c wk) = c i wk;

i (vk + wk)= i vk + i wk;

i (vj wk) = wk i vj + vj i wk;

i (gjk) = 0;

w = g

wk.

i j

jk

i

Формулы для вычисления символов Кристоффеля по компонентам метрического тензора:

1

∂gjs

∂g

∂gjk

Γi

=

gis

+

ks

+

;

k

s

jk

2

∂η

∂η

j

∂η