- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2.Функции комплексного переменного
2.1.Основные определения.
|
Функция f(z) |
называется непрерывной в точке z0, |
если |
lim f(z) = f(z0) . |
||
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
Функция f(z), |
непрерывная в каждой точке области G, |
называется непрерывной в об- |
|||
ласти G. |
|
|
|
|
|
|
|
Функция f(z) |
называется дифференцируемой в точке z, |
если существует конечный пре- |
|||
дел |
lim |
∆f(z) |
= f′(z) . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
∆z→0 |
∆z |
|
|
|
|
|
Функция f(z) |
называется аналитической в точке |
z0, если она представима степенным |
∞
рядом f(z) = ∑ an (z − z0 )n , сходящимся в некоторой окрестности точки z0 (an — ком-
n=−∞
плексные числа). Функция называется аналитической в области G, если она аналитическая в каждой точке области.
Точка |
z0 называется нулем функции |
f(z), если f(z0) = 0. Точка z0 называется нулем |
||
n-го порядка |
аналитической функции f(z), |
если f(z) = (z – z0)n ϕ(z), |
где ϕ(z) — аналитиче- |
|
ская и ϕ(z0) ≠ 0. |
|
|
|
|
Точка z0 называется особой точкой |
функции f(z), если f(z) в этой точке не аналити- |
|||
ческая. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), |
если существует |
|||
такое ε > 0, что в области 0 < | z – z0 | < ε функция f(z) — аналитическая. |
|
|||
Особая точка аналитической функции |
f(z) называется устранимой особой точкой, если |
|||
ее разложение в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней |
z – z0, |
т. е. c–n = 0 |
||
(n = 1, 2, …). |
|
|
|
|
Особая точка z0 аналитической функции f(z) называется полюсом, если ее разложение в
ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней |
z – z0 (c–1 ≠ 0, c–k ≠ 0, …, |
|
c–k–i = 0 (i = 1, 2, …)), |
число k называется порядком полюса; |
если k = 1, то полюс называет- |
ся простым. |
|
|
Особая точка z0 |
аналитической функции f(z) называется существенно особой точкой, |
если ее разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степе-
нями z – z0.
Направление обхода по контуру считается положительным, если область, ограниченная контуром, при обходе остается слева. В противном случае направление обхода считается отри-
цательным.
Непрерывное отображение w = f(z) области G комплексной плоскости z в область комплексной плоскости w называется конформным в точке z0 G, если отображение в этой точке сохраняет углы и растяжения постоянными. Непрерывное отображение области G назы-
вается конформным, если оно конформно в каждой точке области G.
Конформное отображение называется конформным отображением I рода, если оно сохраняет абсолютную величину и знак угла, и конформным отображением II рода, если оно меняет знак угла на противоположный.
92 V.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
У с л о в и я К о ш и – Р и м а н а . Чтобы однозначная в области G функция
комплексного переменного была аналитической в G, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части были дифференцируемыми функциями как функции двух действи-
тельных переменных и удовлетворяли условиям Коши – Римана в области G:
в декартовых координатах: |
∂u |
= ∂v |
, |
∂u |
|
= − |
∂v |
; |
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
∂y |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
в полярных координатах: |
|
∂u = −r |
∂v |
, |
r ∂u |
= |
∂v |
, |
u = u (r cos ϕ, r sin ϕ), |
|||
|
|
∂ϕ |
|
∂r |
|
|
∂r |
|
|
∂ϕ |
|
|
v = v (r cos ϕ, r sin ϕ).
Функция f(z), дифференцируемая в некоторой области G, является аналитической в этой области. Из дифференцируемости функции в точке z0 не следует ее аналитичность в этой
точке.
Правила вычисления производных функций комплексного переменного формально совпадают с правилами вычисления производных для функций действительного переменного.
2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
Интеграл от функции комплексного переменного определяется формулой
∫f(z) dz = ∫(u dx − vdy) + i∫(vdx + u dy) ,
|
|
C |
C |
C |
|
|
где C — кусочно гладкая кривая, |
f(z) = u (x, y) + i v (x, y). В правой части равенства стоят |
|||||
криволинейные интегралы по кривой C в координатной плоскости x, y. |
|
|||||
Формула вычисления интеграла от функции f(z) = u (x, y) + i v (x, y) |
при параметриче- |
|||||
ском задании кривой C: z = z(t) = x(t) + i y(t) (t1 - t - t2, |
x(t) и y(t) — дифференцируемые |
|||||
|
|
t2 |
|
t2 |
|
|
функции): |
∫f(z) dz = ∫{ux − vy}dt + i∫{vx + uy}dt. |
|
|
|||
|
C |
t1 |
|
t1 |
|
|
Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного следуют из свойств |
||||||
криволинейных интегралов. |
|
|
|
|
||
Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного |
f(z) определяется |
|||||
формулой |
F(z) = ∫z f(ζ) dζ + C |
|
(C = const), где |
f(ζ) — аналитическая функция в |
||
|
|
z0 |
|
|
|
|
односвязной области G, z0 и z |
— начальная и конечная точки произвольного кусочно |
|||||
гладкого пути интегрирования, целиком лежащего в G. |
|
|
||||
Формула перехода к пределу под знаком интеграла: |
|
|
||||
|
|
nlim→∞ ∫fn (z) dz = ∫nlim→∞ fn (z) dz = ∫f(z) dz , |
|
|||
|
|
C |
|
C |
C |
|
где fn (z) |
(n N) |
— последовательность функций, равномерно сходящаяся к функции f(z) |
||||
на кривой C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. РЯДЫ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
||
|
Т е о р е м а |
К о ш и . |
|
∫f(z) dz = 0 , |
где |
f(z) |
— аналитическая функция в одно- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связной области G, C — произвольный замкнутый контур в области G. |
|
|
f(ζ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
И н т е г р а л ь н а я |
ф о р м у л а |
К о ш и . |
|
|
f(z) = |
1 |
∫ |
dζ, |
где |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2πi |
ζ − z |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C — замкнутый кусочно гладкий контур, ограничивающий область G′ |
и лежащий в односвяз- |
||||||||||||||||||||||||||||
ной области G, |
f(ζ) |
— аналитическая функция в области G, z G′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
И н т е г р а л |
т и п а К о ш и . |
Φ(z) = |
1 |
∫ |
ϕ(ζ) |
dζ, где |
C — кусочно глад- |
|||||||||||||||||||||
|
2πi |
ζ − z |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кая линия, ϕ(ζ) |
— непрерывная функция вдоль C; |
точка z не принадлежит линии C, Ф(z) |
|||||||||||||||||||||||||||
определяет аналитическую функцию во всякой односвязной области G, |
не содержащей C. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
ϕ(ζ) |
|
||||||
|
Формула для производной интеграла типа Коши: |
Φ(n) (z) = |
|
|
|
∫ |
|
dζ, n N. |
|||||||||||||||||||||
|
|
2πi |
(ζ − z)n+1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
Л и у в и л л я . Если f(z) |
— аналитическая ограниченная функция |
||||||||||||||||||||||||||
во всей плоскости, то f(z) = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Т е о р е м а |
М о р е р а . Если |
f(z) |
— непрерывная функция в односвязной облас- |
|||||||||||||||||||||||||
ти |
G и |
∫f(z) dz = 0 для произвольного кусочно гладкого контура C, |
лежащего в G, |
то |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(z) |
— аналитическая функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ф о р м у л ы С о х о ц к о г о : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ϕ (z ) = |
|
1 |
|
ϕ(ζ) |
dζ + 1 ϕ(z ) , |
ϕ (z ) = |
1 |
|
|
ϕ(ζ) |
dζ − |
1 ϕ(z ) , где |
|
|||||||||||||||
|
2πi ∫ |
|
|
∫ζ − z |
|
||||||||||||||||||||||||
|
i |
0 |
ζ − z |
2 |
0 |
e |
0 |
|
2πi |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ(z) — аналитическая функция на произвольной замкнутой линии |
C, |
z0 C, |
ϕi(z0) — пре- |
дельное значение интеграла типа Коши, если z→z0 внутри контура C, ϕe(z0) — предельное значение, если z→z0 вне контура C.
2.4. Ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П е р в а я |
т е о р е м а |
В е й е р ш т р а с с а . |
Если |
|
функции |
fn(z) |
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n = 1, 2, …) — аналитические в области |
G и ряд ∑fn (z) |
сходится равномерно в любой |
|||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
f(z) = ∑fn (z) |
|
— аналитическая в области G и |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
замкнутой области G G , то функция |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
(k) |
|
∞ |
d |
(k) |
|
||||
имеет место формула почленного дифференцирования |
|
|
|
f(z) = ∑ |
|
|
fn (z) , |
где ряд в |
|||||||
dz |
(k) |
dz |
(k) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правой части сходится равномерно в G′.
94 |
|
|
V.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
В т о р а я |
|
т е о р е м а |
В е й е р ш т р а с с а . |
Если члены ряда |
∑fn (z) не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
прерывны в замкнутой ограниченной области |
|
|
и аналитичны в области G, |
то из равно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
мерной сходимости ряда на границе области G следует его равномерная сходимость в G |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Р я д Т е й л о р а : |
|
f (z) = ∞ |
|
f(n) (z0 ) |
(z − z )n |
, где |
f(z) — аналитическая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция в любом открытом круге с центром в точке z0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Формула ряда Тейлора с остаточным членом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − z0)n+1 |
|
|
|
|
|
f(ζ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (z) = ∑ |
f(k) |
|
(z − z0)k + Rn (z) , |
|
Rn (z) = |
|
|
|
|
|
|
|
dζ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
C∫(ζ − z)(ζ − z0 ) |
n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k=0 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р я д Л о р а н а : |
|
|
f (z) = ∑ cn (z − z0)n = ∑cn (z − z0)n + ∑c−n (z − z0)−n , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
f(ζ) |
|
|
|
|
|
||||||||
где f(z) |
— аналитическая функция в кольце r < | z – z |
|
|
| < R, |
c |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dζ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
2πi ∫(ζ − z )n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(n = 0, ±1, ±2, …), |
γ —произвольная окружность | z – z0 | = ρ, |
r < ρ < R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правила действий со степенными рядами на плоскости комплексного переменного совпа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дают с соответствующими правилами действий для рядов с действительными членами. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5. Вычеты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычет функции |
f(z) |
|
относительно изолированной особой точки |
|
z = z0 |
определяется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулой |
res f(z |
|
) |
≡ |
|
1 |
|
|
f (z)dz = c |
, где f(z) — аналитическая функция в области G, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2πi ∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C — произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, содержащий особую точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
и не содержащий других особых точек, c–1 — коэффициент при (z – z0)–1 |
в раз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ложении функции f(z) |
в ряд Лорана в окрестности особой точки z0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
|
|
К о ш и . |
f |
(z)dz = |
2πi |
∑ |
res f (zk ), |
где |
f(z) — функция анали- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тическая в области G везде, кроме конечного числа особых точек zk (k = 1, 2, …, n); |
|
замк- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нутый контур C G и содержит внутри себя точки zk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Вычет в точке z0 — полюсе порядка n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
res f |
|
z |
|
= |
|
1 |
|
lim |
d(n−1) |
|
|
(z − z )n f |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
dz(n−1) { |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(n −1) ! z→z0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки:
f (z∞ ) = 21πi ∫ f (z)dz = −c−1 ,
C−
где C– — контур C, проходимый в отрицательном направлении (т.е. так, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время слева).