- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
68
6.Несобственные интегралы
иинтегралы, зависящие от параметра
6.1.Основные определения.
Пусть функция f(x) определена на [a, b), |
– ∞ < a < b - + ∞, и интегрируема на любом |
β |
b |
[a, β], β < b; существует предел β→limb ∫f(x) dx . |
Этот предел обозначается ∫f(x) dx и назы- |
a |
a |
вается несобственным интегралом, а функция f(x) называется интегрируемой в несобственном смысле на [a, b).
β |
b |
Если существует конечный предел β→limb ∫f(x) dx , то интеграл |
∫f(x) dx называют схо- |
a |
a |
дящимся, в противном случае — расходящимся. |
|
Несобственный интеграл ∫b f(x) dx называется абсолютно сходящимся, если сходится ин-
a
теграл ∫b f(x) dx .
a |
|
|
|
Если функция f(x, y) |
|
|
= {(x, y): |
определена в замкнутой ограниченной области G |
|||
|
ψ(y) |
||
α - y - β; ϕ(y) - x - ψ(y)}, |
то интеграл вида Φ(y) = ∫ f(x, y) dx называется интегра- |
||
|
ϕ(y) |
лом, зависящим от параметра y.
Несобственным интегралом, зависящим от параметра, называется несобственный инте-
грал вида Φ(y) = ∫b f(x, y) dx , где – ∞ < a < b - + ∞, |
а y Y. |
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
Если для любого y0 Y интеграл Φ(y0) сходится, то Φ(y) называется сходящимся в Y. |
|||||
Если интеграл Φ(y) сходится в Y и для любого |
ε > 0 |
существует |
|
δε < b такое, что для |
|
всех δ (δε, b) и для всех y Y выполняется неравенство |
|
∫b f(x, y) dx |
|
< ε, то Φ(y) назы- |
|
|
|
||||
|
|
|
δ |
|
|
вается равномерно сходящимся в Y. |
|
|
|
|
|
6.3. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. |
|
|
|
|
|
|
|
69 |
||||||||
6.2. Несобственные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К р и т е р и й |
К о ш и . |
Для сходимости несобственного интеграла |
∫b f(x) dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
необходимо и достаточно, чтобы для любого |
ε > 0 |
существовало такое |
|
b*(ε), |
что для лю- |
|||||||||||
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бых b′, b″ > b* выполнялось неравенство |
|
b∫f(x) dx |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и з н а к с х о д и м о с т и |
Д и р и х л е . |
Если функция f(x) |
|
непрерывна |
||||||||||||
и имеет ограниченную первообразную F(x) при x . a, а функция |
g(x) |
непрерывно диффе- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
ренцируема и убывает при x . a и |
lim g(x) = 0 , |
то сходится интеграл |
|
|
∫ |
f(x) g(x) dx . |
||||||||||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
П р и з н а к и с х о д и м о с т и |
н е с о б с т в е н н ы х |
|
|
|
и н т е г р а - |
|||||||||||
л о в . Если | f(x) |
| - F(x) при |
x . a |
и |
+∞∫ F(x) dx |
сходится, то интеграл |
+∞∫ f(x) dx |
||||||||||
сходится абсолютно. |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞∫ f(x) dx |
|
|
+∞∫ g(x) dx |
||||||
Если f(x) > 0 и |
f(x) = O(g(x)) при |
x → +∞, |
то интегралы |
и |
||||||||||||
сходятся или расходятся одновременно. |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
+∞∫ f(x) dx сходится, если |
|
|
|
|||||||||||
Если f(x) = O(x–p) при x → +∞, то интеграл |
p > 1, |
и рас- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходится, если p - 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3. Интегралы, зависящие от параметра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Н е п р е р ы в н о с т ь . |
Если функция f(x, y) непрерывна на |
|
|
, |
а |
ϕ(y) |
и ψ(y) |
|||||||||
G |
непрерывны на [α, β], то функция Φ(y) =
ψ(y)
lim ∫ f(x, y) dx
y→y0 ϕ(y)
ψ(y)
∫f(x, y) dx непрерывна на [α, β] и
ϕ(y)
|
lim ψ(y) |
|
|
|
y→y0 |
|
|
= |
∫ ylim→y |
f(x, y) dx. |
|
|
lim ϕ(y) |
0 |
|
|
y→y0 |
|
|
Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь |
( ф о р м у л а |
Л е й б н и ц а ) . |
Если |
||||||
функции f(x, y) и |
∂f(x, y) непрерывны на |
|
|
и ϕ(y), ψ(y) |
непрерывны вместе со своими |
||||
G |
|||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
первыми производными на [α, β], то интеграл, зависящий от параметра, имеет на [α, β] |
про- |
||||||||
изводную dΦdy(y) = |
ψ(y) |
∂f(∂xy, y) dx − f (ϕ(y), y)dϕdy(y) + f (ψ(y), y) |
dψ(y) |
|
|
||||
∫ |
. |
|
|||||||
dy |
|
||||||||
|
ϕ(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
III.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
||||
Если ψ(y) = b = const, ϕ(y) = a = const, то имеет место формула Лейбница |
||||||
|
|
|
dΦ(y) |
= ∫b ∂f(∂xy, y) dx. |
||
|
|
|
dy |
|||
|
|
|
|
|
a |
|
И н т е г р и р о в а н и е . |
Если функции |
ϕ(y) и ψ(y) непрерывны на [α, β] и |
||||
|
|
= {(x, y): α - y - β; ϕ(y) - x - ψ(y)}, то имеет место формула |
||||
f(x, y) непрерывна в G |
||||||
β |
|
β |
ψ(y) |
|
|
|
∫Φ(y) dy = ∫ |
∫ |
f(x, y) dx dy = ∫∫f(x, y) dx dy. |
||||
α |
|
α ϕ(y) |
|
|
G |
6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
К р и т е р и й |
К о ш и . |
Для того, чтобы интеграл Φ(y) |
= ∫b f(x, y) dx равно- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
мерно сходился в Y, |
необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 |
существовало такое |
|||||||||||||
δε < b, что для любых δ′ (δε, b) и δ″ (δε, b) и всех y Y выполнялось неравенство |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
δ′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫f(x, y) dx |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
δ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К р и т е р и й |
В е й е р ш т р а с с а . |
Интеграл Φ(y) |
= ∫b f(x, y) dx |
сходится |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
равномерно в Y, если существует не зависящая от параметра |
y неотрицательная функция |
||||||||||||||
g(x), определенная на |
[a, b) |
и интегрируемая (по Риману) на любом |
[a, δ] (где δ (a, b) ) и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
такая, что | f(x, y) | - g(x), |
x [a, b), y Y, |
и интеграл |
∫g(x) dx |
сходится. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
П е р е х о д |
к |
п р е д е л у |
п о д з н а к о м |
и н т е г р а л а . |
Если |
||||||||||
функция f(x, y) определена для любого |
x [a, b) |
(–∞ < a < b - +∞) |
и y Y, при любом |
||||||||||||
y Y непрерывна по x на [a, b), и если для любого η [a, b) |
функция f(x, y) равномерно |
||||||||||||||
на [a, η] стремится к функции g(x) |
при |
y → y0 |
и интеграл |
∫b f(x, y) dx |
равномерно схо- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
дится на Y, то |
ylim→y |
∫b f(x, y) dx = ∫b ylim→y |
f(x, y) dx = ∫b g(x) dx . |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
a |
|
a |
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
П е р е с т а н о в к а |
п о р я д к а |
и н т е г р и р о в а н и я . |
Если функция |
||||||||||||
f(x, y) определена и непрерывна на |
{(x, y): |
a - x < b, |
c - y < d} (–∞ < a < b - +∞, |
||||||||||||
–∞ < c < d - +∞) и |
∫b f(x, y) dx равномерно сходится на любом |
[c, η], |
c < η < d, а интеграл |
a
6.4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. |
71 |
d
∫f(x, y) dx равномерно сходится на [a, ξ], a < ξ < b и существует один из двух повторных
c
интегралов ∫d dy∫b f(x, y) dx, ∫b dx∫d f(x, y) dy , то существует и другой и имеет место равен-
|
|
|
c |
a |
|
|
a c |
|
|
|
||||||
ство |
∫d dy∫b |
|
f(x, y) |
|
dx = ∫b dx∫d |
|
f(x, y) |
|
dy . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
c a |
|
|
a |
c |
|
|
|
||||||||
|
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е |
и н т е г р а л а |
п о п а р а м е т р у . |
|||||||||||||
Если |
f(x, y) и |
∂f(x, y) |
определены и непрерывны на {(x, y): |
a - x < b, |
c - y < d} |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(–∞ < a < b - +∞, |
|
–∞ < c < d - +∞) и |
∫b f(x, y) dx сходится, а |
∫b ∂f(∂xy, y) dx |
равномерно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
сходится на [c, |
d], |
|
то F(y) = ∫b f(x, y) dx |
непрерывно дифференцируема на этом отрезке и |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
∫b f(x, y) dx = ∫b ∂f(∂xy, y) dx. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|