- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
63
5.Определенный интеграл
5.1.Основные определения.
Если функция f(x) определена на отрезке [a, b] и a = x0 < x1 < … < xn = b, то опреде-
ленным интегралом функции f(x) |
на [a, b] |
называется предел |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
∑ |
f(ξ ) ∆x , |
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
∆x |
→0 |
|
i |
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i=0 |
|
|
|
|
|
где ξi |
[xi, xi+1], ∆xi = xi+1 − xi . |
Функции f(x), |
для которых этот предел существует, |
||||||||||||||||
называются интегрируемыми на отрезке [a, b]. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Определенный интеграл обозначается |
∫f (x)dx. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
5.2. Свойства определенного интеграла. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
∫dx = b − a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Если функция f(x) |
интегрируема на [a, b], то функция f(x) |
интегрируема и на отрез- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
b |
|
ках [a, c], [c, b] (a - c - b) и |
∫f (x)dx = ∫f (x)dx + ∫f (x)dx. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
3. Если функция f(x) |
интегрируема на [a, b], то |
∫f(x) dx = −∫f(x) dx . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
4. |
Если функция |
f(x) |
|
|
интегрируема на |
[a, b], то и функция |
| f(x) | интегрируема на |
||||||||||||
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[a, b] и |
∫f(x) dx |
|
- ∫ |
|
f(x) |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Если функция f(x) |
интегрируема на [a, b], то и функция kf(x) (k = const) интегри- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
руема на [a, b] и |
|
|
∫kf(x) dx = k∫f(x) dx. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Если функции |
f(x) и |
g(x) |
интегрируемы на |
[a, b], то и функции f(x) + g(x) и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
b |
f(x) g(x) интегрируемы на [a, b] |
и |
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
a |
7. Если функции f(x) |
и g(x) |
интегрируемы на [a, b] и f(x) . g(x) на [a, b], то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫f(x) dx . ∫g(x) dx . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
П е р в а я |
|
|
т е о р е м а |
о |
с р е д н е м . |
Если функции f(x) и g(x) интегри- |
|||||||||||||
руемы на [a, b], |
m - f(x) - M и если g(x) |
не меняет знак на [a, b], то существует такое |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||
число µ[m, M], |
что |
∫f(x) g(x) dx = µ∫g(x) dx . |
|
|
a |
a |
64 |
III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
В т о р а я |
т е о р е м а о с р е д н е м . Если функция f(x) непрерывна, а |
g(x) монотонна и непрерывно дифференцируема на [a, b], то существует такое число
b |
ξ |
b |
||
ξ [a, b], что ∫f(x) g(x) dx = g(a) ∫f(x) dx + g(b) ∫f(x) dx . |
||||
a |
a |
ξ |
||
Ф о р м у л а |
Н ь ю т о н а - Л е й б н и ц а . Если функция f(x) определена и |
|||
|
|
b |
||
непрерывна на [a, b] |
и F ′(x) = f(x), то |
∫f(x) dx = F(b) − F(a) ≡ F(x) |
|
ab . |
|
||||
|
|
|
a
Ф о р м у л а на [a, b], а функция
з а м е н ы |
п е р е м е н н о й . Если функция f(z) непрерывна |
z = g(x) |
непрерывна и имеет непрерывную производную на [α; β]; |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a = g(α), b = g(β), a - g(x) - b, то ∫f(z) dz = ∫f( g(x)) g |
(x) dx . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
И н т е г р и р о в а н и е п о |
ч а с т я м . |
Если функции f(x) и g(x) непре- |
||||||||||||||||||
рывны на [a, b] вместе со своими первыми производными, то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫f(x) g (x) dx |
= f(x) g(x) |
|
a − ∫g(x) f (x) dx. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
И н т е г р а л ь н о е н е р а в е н с т в о |
М и н к о в с к о г о . Если функ- |
|||||||||||||||||||
ции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], |
1 < p < +∞, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b |
|
|
|
1 p |
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 p |
b |
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
f(x) + g(x) |
|
p dx |
- |
|
|
f(x) |
|
p dx |
+ |
|
|
g(x) |
|
p dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
И н т е г р а л ь н о е |
н е р а в е н с т в о |
Г ё л ь д е р а . |
Если функции f(x) |
||||||||||||||||||
и g(x) интегрируемы на [a, b], |
1 < p < +∞, 1 + |
1 = 1, |
|
то |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 p |
b |
|
|
|
|
1 q |
|
|
||
|
∫ |
|
f(x) g(x) |
|
dx - |
∫ |
|
f(x) |
|
p dx |
|
∫ |
|
g(x) |
|
q dx . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
При p = q = 2 неравенство Гёльдера превращается в неравенство Коши. |
|
||||||||||||||||||||
И н т е г р а л |
|
|
с п е р е м е н н ы м |
в е р х н и м |
п р е д е л о м . |
Если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
функция f(x) непрерывна на [a, b], то функция |
F(x) = ∫f(t) dt |
непрерывна на [a, b]. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
x0 [a,b], |
|
Если функция f(x) интегрируема на [a, b] |
и непрерывна в точке |
то функ- |
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция F(x) = ∫f(t) dt |
дифференцируема в точке x0 и F ′(x0) = f(x0). |
|
|
||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Приложения определенного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Д л и н а к р и в о й . |
|
|
Если кривая задана функцией y = f(x) |
(x [x0, x1]), |
то |
|
5.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. |
65 |
|||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = ∫ |
|
′ |
2 |
dx. |
|
|
|
|
|
1 + (f ) |
|
|
|
|||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
Если кривая задана параметрически: x = ϕ(t), |
y = ψ(t), то |
|
|
||||||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l = ∫ ϕ′2 (t) + ψ′2 (t) dt. |
|
|
|||||
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
Если кривая задана в полярных координатах: ρ = ρ(ϕ) (ϕ0 - ϕ - ϕ1), то |
|
||||||||
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = ∫ |
2 |
′2 |
dϕ. |
|
|
|
|
|
|
ρ |
+ ρ |
|
|
|
||
|
|
|
ϕ0 |
|
|
|
|
|
|
П л о щ а д ь |
т р а п е ц и и . Если функция y = f(x) неотрицательна и непрерыв- |
||||||||
на на [a, b], |
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, |
графиком функ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
ции y = f(x) |
и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле S = ∫f(x) dx . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
П л о щ а д ь |
с е к т о р а |
OAB, ограниченного кривой AB, заданной в полярных |
|||||||
|
|
(ϕ0 - ϕ - ϕ1), |
и радиусами OA и OB: S = 1 |
ϕ1 |
|
||||
координатах: |
ρ = ρ(ϕ) |
∫ ρ2dϕ. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
О б ъ е м т е л а в р а щ е н и я , полученного в результате вращения вокруг оси |
|||||||||
Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции |
y = f(x), пря- |
b
мыми x = a и x = b и осью Ox: V = π∫f2 (x) dx.
a
П л о щ а д ь п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я , полученной при вращении вокруг оси Ox кривой, заданной на [a, b] непрерывно дифференцируемой функцией y = f(x):
b
S = 2π∫f(x) 1 + f′2 (x) dx .
a
Если кривая задана параметрически: x = ϕ(t), y = ψ(t) (t [t0, t1]), то
t1
S = 2π∫ψ(t) ϕ′2 (t) + ψ′2 (t) dt .
t0
К о о р д и н а т ы ц е н т р а т я ж е с т и |
|
||||||
ей y = f(x) (x [a, b]), |
с линейной плотностью δ(x): |
|
|
|
|||
|
1 b |
′2 |
|
1 |
|
b |
|
x0 = |
|
∫ |
δ(x) x 1 + f (x) dx, |
y0 = |
|
|
∫ |
M |
M |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
где M = ∫δ(x) 1 + f′2 (x) dx — полная масса. |
|
|
|
к р и в о й , задаваемой функци-
δ(x) f(x) 1 + f′2 (x) dx,
a
66 |
III.5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|||||||
К о о р д и н а т ы |
|
ц е н т р а |
т я ж е с т и |
к р и в о л и н е й н о й |
||||||
т р а п е ц и и с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1, |
ограниченной графи- |
|||||||||
ком непрерывно дифференцируемой функции y = f(x), |
осью Ox и прямыми x = a и x = b: |
|||||||||
|
x = |
1 |
b xf(x) dx, |
y = |
1 |
b f2 |
(x) dx, |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
∫ |
0 |
2S ∫ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
где S — площадь криволинейной трапеции. |
|
|
|
|
|
|
||||
М о м е н т |
и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о |
о с и Oy кривой, задаваемой |
||||||||
непрерывно дифференцируемой функцией y = f(x), с линейной плотностью δ(x): |
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iy = ∫δ(x) x2 1 + f′2 (x) dx . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
М о м е н т |
и н е р ц и и о т н о с и т е л ь н о |
о с и |
Oy |
криволинейной |
||||||
трапеции, ограниченной графиком непрерывно дифференцируемой функции |
y = f(x), осью |
|||||||||
Ox и прямыми x = a, x = b, |
с постоянной поверхностной плотностью δ(x, y) = 1: |
b
Iy = ∫x2 f(x) dx .
a
5.4. Некоторые определенные интегралы.
∞
∫e−a2x2 dx = 2aπ
0
∞∫e−a2x2 cosbx dx =
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x dx |
|
|
π2 |
|||||
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
e |
x |
−1 |
6 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
x dx |
|
|
π2 |
|||||
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
e |
x |
+1 |
12 |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
∞∫e−x ln x dx = −γ
(a > 0) ;
π |
e |
−b (4a2) |
(a > 0) ; |
2a |
|
||
|
|
|
(γ ≈ 0,5772156649 — постоянная Эйлера–Маскерони);
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞∫e−x2 ln x dx = − |
π |
(γ + 2 ln 2); |
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π2 |
|||
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||||
e−x |
|
ln2 x dx = |
|
|
(γ + 2 ln 2) |
+ |
|
; |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ sin x |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
dx = |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
67 |
+∞ sin2 x |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
∫ |
x2 |
dx = |
2 |
; |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
+∞ |
|
|
π |
|
||||
∫ sin (x) |
2 |
dx |
= |
∫ cos (x) |
2 |
dx = |
; |
||||
|
|
2 |
|||||||||
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|||
∫1 ln ln x dx = −γ ; |
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln x |
|
π2 |
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
dx = 6 . |
|
|
|
|
|
||||
x −1 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|