- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
31
III.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРОИЗВОДНЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ.
1.Числовые последовательности
1.1.Основные определения.
Число a называют пределом последовательности {a }: |
lim a = a , если для лю- |
n |
n→∞ n |
бого ε > 0 найдется такое число N = N(ε), что |xn – a| < ε при n > N.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Последовательность {an} называется ограничен-
ной сверху (снизу), если существует такое число M, что an - M (an . M) для всех n. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. Последовательность
{an} |
называется возрастающей (убывающей), если an+1 > an |
(an+1 < an) для всех n. Возрас- |
||||||||||||||||
тающие и убывающие последовательности называются монотонными. |
|
|||||||||||||||||
|
1.2. Основные свойства пределов последовательностей. |
|
||||||||||||||||
|
Если {xn} и {yn} — две сходящиеся последовательности, то |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim (cx ) = c lim x |
|
(c − число); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n |
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim (x |
± y ) = lim x |
± lim y ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
n |
|
n→∞ |
n |
n→∞ n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim (x |
y ) = lim x |
lim y ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
n |
|
n→∞ |
|
n |
n→∞ n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
lim x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim |
|
= |
n→∞ |
n |
|
|
при |
lim y |
≠ 0; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
lim y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ y |
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim xn |
- lim yn |
|
при |
xn - yn. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если члены |
последовательностей |
|
{xn}, |
{yn}, {zn} |
удовлетворяют |
неравенствам |
|||||||||||
xn - yn - zn |
и |
lim xn |
= lim zn = a, |
то |
|
lim yn = a . |
|
|
||||||||||
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||
|
Если члены последовательностей |
{xn}, |
{yn} |
удовлетворяют неравенству xn - yn и |
||||||||||||||
lim xn = a, |
lim yn = b, |
то |
|
a - b. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К р и т е р и й |
К о ш и . |
|
Для существования предела последовательности {xn} |
||||||||||||||
необходимо и достаточно, чтобы для любого |
ε > 0 |
существовало такое число |
N0 = N0 (ε) , |
|||||||||||||||
что |
| xn – xn+p | < ε, |
как только |
n > N0 |
и |
p > 0. |
|
|
|
||||||||||
|
Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а . |
|
Всякая монотонная и ограниченная после- |
|||||||||||||||
довательность имеет предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
III.1. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ |
1.3. Пределы некоторых последовательностей. |
|
Здесь |
a > 0, b > 1, α > 0, p — натуральное число. |
|
+ |
1 n |
lim 1 |
|
|
n→∞ |
|
n |
lim n a = 1; n→∞
tg 1
lim n = 1; n→∞ 1 n
= e; lim |
n = e; |
n→∞ n n! |
|
lim n n = 1; |
|
n→∞ |
|
lim |
an |
= 0; |
lim nα |
= 0; lim |
logb n |
= 0; |
||
n→∞ |
n! |
|
n→∞ bn |
n→∞ nα |
|
|||
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
lim |
n (n a −1) = ln a; |
lim |
|
n |
= 1; |
|
||
|
|
|
||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ 1 n |
|
lim |
1p + 2p + … + np |
|
= |
|
|
1 |
; |
|||
np+1 |
|
|
|
p |
+ 1 |
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
+ |
1 |
|
|
+ … + |
|||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n +1 |
n + 2 |
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
lim |
1p + 3p + … + (2n −1)p |
||
np+1 |
|||
n→∞ |
|||
1 |
= ln 2. |
||
|
|
||
|
|||
2n |
|
= |
2p |
|
; |
|
p + |
1 |
|||
|
|