- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|
4.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ. |
57 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
ctg x dx |
|
= |
|
sin2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 + ctg2 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
ctg x dx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
∫ |
|
|
|
tg x dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + a2 ctg2 x |
|
a2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
+ a2 |
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
tg x dx |
= |
x |
+ |
|
1 |
|
|
|
sin x ± cos x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 ± ctg x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
tg x dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a + btg2 x |
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n (22n −1)Bn a2n−1x2n+1 |
|||||||||||||||||||||||
∫x tg ax dx = |
ax3 |
|
|
+ |
a3x5 |
|
|
+ |
2a5x7 |
|
+ |
|
17a7x9 |
+ |
…+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
2835 |
|
|
|
(2n +1) ! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Bn −числа Бернулли); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n (22n −1)Bn (ax)2n−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
tg ax dx |
= ax + |
(ax)3 |
+ |
|
|
2 (ax)5 |
+ |
17 (ax)7 |
|
+ |
…+ |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2205 |
|
|
|
(2n −1) (2n) ! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Bn −числа Бернулли); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
xctg ax dx = |
x |
− |
ax3 |
|
− |
|
a3x5 |
−…− |
|
22nBn a2n−1x2n+1 |
(Bn − числа Бернулли); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
9 |
|
|
|
225 |
|
|
|
(2n +1) ! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
ctg ax dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
(ax)3 |
|
|
2 (ax)5 |
|
|
|
22nBn (ax)2n−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
…− |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
ax |
|
3 |
|
|
135 |
|
|
|
|
4725 |
|
(2n −1) (2n) ! |
|
|
(Bn −числа Бернулли).
4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
∫eax dx = a1 eax ;
∫xneax dx = a1 xneax − ax ∫xn−1eax dx ;
|
eax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
(ax)2 |
|
|
(ax)3 |
∞ |
(ax)k |
||||||||
∫ |
|
dx = ln x + |
|
|
+ |
|
2 2! |
|
+ |
3 3! |
+… = ln x + ∑ k k! ; |
|||||||||||||||||||
x |
1 1! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
eax |
dx |
= |
1 |
|
|
|
|
− |
|
eax |
|
+ a |
|
|
eax |
dx |
|
(n ≠ 1); |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
∫ |
|
|
n |
−1 |
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
n − |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
eax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= a ln |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 + eax |
1 + eax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln (b + ceax ); |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= b |
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b + ceax |
ab |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
eaxdx |
|
= |
1 |
ln (b + ceax ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
b + ceax |
ac |
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫eax ln x dx = |
eax ln x |
|
1 |
|
|
∫ |
eax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− a |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫eax sin bx dx = |
|
|
|
eax |
|
(asin bx − bcosbx); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∫eax cosbx dx = |
|
|
eax |
(acosbx + bsin bx); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
ax |
sin |
n−1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n −1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∫eax sinn x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(asin x |
− ncos x) + |
|
|
|
) |
|
∫eax sinn−2 x dx; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 + n2 |
|
|
|
|
a2 + n2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ax |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
( |
n −1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
e |
cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∫eax cosn x dx = |
|
|
|
(acos x |
|
+ nsin x) |
+ |
|
|
|
) |
∫eax cosn−2 x dx; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 + n2 |
|
|
|
|
|
|
a2 + n2 |
|
||||||||||||||||||||
|
∫xeax sin bx dx = |
|
xeax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(asin bx − bcosbx) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
eax |
|
(a2 |
|
− b2) sin bx − 2abcosbx |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 + b2)2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫xeax cosbx dx = |
xeax |
(acosbx − bsin bx) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
eax |
|
(a2 |
− b2) cosbx − 2absin bx . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 + b2)2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
∫(ln x)n dx = x (ln x)n − n∫(ln x)n−1 dx (n ≠ −1);
∫ |
dx |
= ln |
|
ln x |
|
+ ln x + |
(ln x)2 |
||||||||
|
|
||||||||||||||
ln x |
|
|
|
2 2! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
dx |
|
|
= − |
|
|
|
x |
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
ln x |
) |
n |
( |
n −1 ln x |
n−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)( |
) |
|
|
+ ( |
ln x 3 |
|
|
|
|
∞ |
ln x k |
||
3 3)! +… = ln |
|
ln x |
|
+ ∑(k k)! ; |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
1 |
∫ |
dx |
(n ≠ 1); |
|
|||||
n −1 |
(ln x)n−1 |
|
∫ |
xm ln x dx = xm+1 |
|
ln x |
− |
|
1 |
|
(m ≠ −1); |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
( |
m +1 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
m +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||
∫xm (ln x) |
n |
dx = |
xm+1 (ln x)n |
− |
n |
|
∫xm (ln x) |
n−1 |
dx |
(m ≠ 1, n ≠ −1); |
|||||||
|
|
|
m +1 |
|
|
m +1 |
|
∫(ln x)n dx = (ln x)n−1 ;
xn +1
∫ |
ln x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(m ≠ 1); |
||||
|
m dx = − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(m −1)x |
m−1 |
( |
|
|
2 |
|
m−1 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
(ln x)n |
|
|
|
(ln x)n |
|
|
|
|
n |
|
∫ |
(ln x)n−1 |
|||||||||||
|
|
m |
dx = − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
m |
dx (m ≠ 1); |
|||||||||
|
x |
( |
m − |
|
) |
x |
m−1 |
m −1 |
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. 59
∫ |
xm dx |
= − |
|
|
|
|
|
|
xm+1 |
|
|
+ |
||||||||
( |
ln x |
) |
n |
( |
n −1 ln x |
n−1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
)( |
|
) |
|
|
||||||||||
∫ |
dx |
= ln |
|
ln x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
xln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dx |
|
|
= ln |
|
ln x |
|
− |
|
n |
−1 ln x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫xn ln x |
( |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m +1 |
∫ |
xm dx |
(n ≠ 1); |
n −1 |
(ln x)n−1 |
+ |
(n −1)2 (ln x)2 |
− |
(n −1)3 (ln x)3 |
+… = |
|
|
||||||||
|
2 2! |
|
|
|
|
|
3 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
( |
−1 |
|
n −1 ln x k |
|||
|
= ln |
|
ln x |
|
+ ∑ |
|
)( |
) |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k k! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(n ≠ 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
( |
ln x |
) |
n |
|
|
( |
n −1 ln x |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
− mn |
−−11 ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
(n ≠ 1); |
|||||||
m |
|
|
) |
n |
m−1 |
( |
|
)( |
|
) |
n−1 |
|
m |
( |
|
) |
n−1 |
|||||||||||||
|
x |
|
( |
ln x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
ln x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin ln x dx = x2 (sin ln x − cosln x);
∫cosln x dx = x2 (sin ln x + cosln x);
∫eax ln x dx = a1 eax ln x − a1 ∫exax dx .
4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
∫arcsin a dx = xarcsin a |
+ |
a2 − x2 ; |
|
|||||||
∫ |
xarcsin |
x |
x2 |
− |
a2 |
|
|
x |
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx = |
|
arcsin |
|
|
||||
|
|
a |
a |
|
4 |
|
|
a |
|
4 |
|
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
∫x2 arcsin a dx = |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xn+1 |
x |
1 |
|
|||
∫xn arcsin a dx = |
|
|
arcsin a |
− |
|
∫ |
|||
|
n +1 |
n +1 |
|||||||
1 |
x |
x |
1 |
x3 |
|
|
|
||
∫x arcsin a dx = |
a + |
|
|
|
|
||||
2 3 3 |
a3 |
|
|
|
a2 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a2 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xn+1dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
|
1 3 5 |
|
|
|
x7 |
|
+… = |
|||
2 |
4 6 |
7 |
7 a7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∞ |
x2k+1 |
|
k |
(2i − 1) |
|
|
|||
|
|
|
∏ |
|
||||||||
x |
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|||
= a |
i=1 |
; |
||||||||||
a2k+1 2k +1 2 |
||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
( |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
x |
1 |
|
|
x 1 |
|
a + a2 − x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
arcsin a dx = − x arcsin a − a ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
(n . 2); |
||
|
|
arcsin a dx = − |
|
|
|
|
|
arcsin a |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
n |
( |
|
) |
x |
n−1 |
n −1 |
x |
n−1 2 |
− x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫arccos a dx = xarccos a |
− |
a2 − x2 ; |
|
|
|
|||||||
|
∫ |
xarccos |
x |
x2 |
− |
a2 |
|
|
x |
− |
x |
a2 |
− x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx = |
|
arccos |
|
|
||||||
|
|
|
a |
a |
|
4 |
|
|
a |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
(x2 + 2a2 ) a2 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫x2 arccos a dx = |
|
3 arccos a − |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
xn+1 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
xn+1dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫xn arccos a dx = |
|
|
|
|
arccos a |
+ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n +1 |
n +1 |
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫x arccos a dx = |
2 ln |
|
x |
|
− a |
− |
|
|
|
a3 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 3 3 |
2 4 5 5 |
a5 |
|
|
|
|
|
k |
(2i − 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x2k+1∏ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
… = π ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
x7 − |
|
x |
|
− x − ∑ |
|
|
i=1 |
2i |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k+1 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 7 7 a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
k=1 a |
(2k +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ |
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
a + a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
arccos a dx = − x arccos a + a ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
arccos a dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos a − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
n |
( |
n |
) |
n−1 |
n −1 |
x |
n−1 |
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫arctg ax dx = xarctg ax − a2 ln (a2 + x2 );
∫xarctg ax dx = 12 (x2 + a2 )arctg ax − ax2 ;
|
x |
|
|
x3 |
x |
ax3 |
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫x2 arctg a dx |
= |
|
3 arctg a − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ln (x2 + a2 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
xn+1 |
x |
|
|
a |
|
|
|
|
|
xn+1dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫xn arctg a dx |
= |
|
|
|
arctg a |
− |
|
|
∫ |
|
|
(n |
≠ −1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n +1 |
n +1 |
x2 + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
∞ |
( |
−1 |
k |
|
2k+1 |
|||||||||||||||||||||
1 |
x |
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫xarctg a dx = a |
− |
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+…= |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
x |
|
< |
|
a |
|
); |
|||||||||||
3 3 a3 |
5 |
5 a5 |
|
7 7 a7 |
|
2k |
+1 |
2 |
2k+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 ( |
|
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
x2 + a2 |
|
|||||||
|
|
arctg a dx = − x arctg a |
− |
|
ln |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
x2 |
2a |
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||
∫ |
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
a |
∫ |
|||
|
|
arctg a dx = − |
|
|
|
|
|
arctg a |
+ |
|
|
|||||||||
x |
n |
( |
|
) |
x |
n−1 |
n −1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫arcctg ax dx = xarcctg ax + a2 ln (x2 + a2 );
∫xarcctg ax dx = 12 (x2 + a2 )arcctg ax + ax2 ;
x |
x3 |
x |
|
ax2 |
|
a3 |
|
∫x2 arcctg a dx = |
3 arcctg a |
+ |
|
− |
|
ln (x2 |
|
6 |
6 |
dx |
(n ≠ 1) ; |
xn−1 (x2 + a2 ) |
+ a2 );