- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
33
2.Производные и дифференциалы
2.1.Основные определения.
|
Производной функции y = f (x) в точке x0 называют предел |
|
|
lim |
f(x0 + ∆x) − f(x0) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
∆x |
|
|
|
||||
|
Если этот предел существует, то говорят, что f (x) |
дифференцируема в точке x0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Производную функции f (x) обозначают |
f′(x0) = |
df |
(x0) = |
|
df(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
x=x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Если приращение f(x0 + ∆x) – f(x0) |
может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f(x0 + ∆x) – f(x0) = A(x0) ∆x + o (∆x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где o (∆x) |
— бесконечно малая высшего порядка, то главная линейная часть этого приращения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A(x0) ∆x называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
df (x0) = A(x0) dx (dx ≡ ∆x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Для существования дифференциала функции |
|
y = f (x) в точке |
x0 необходимо и |
||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно, чтобы существовала производная f′(x0), причем df(x0) = f′(x0) dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Частной производной функции f(x |
1 |
, …, |
x ) |
|
в точке ( x0 |
,…, x0 ) по переменной x |
k |
на- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f(x0,…, x0 |
+ ∆x |
,…, x0) − f(x0,…, x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
зывают предел |
lim |
|
1 |
|
|
k |
|
k |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∆xk →0 |
|
|
|
|
|
∆xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если этот предел существует, то говорят, что функция f дифференцируема по xk. Част- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f(x0,…, x0) |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ную производную обозначают |
|
|
|
1 |
|
n |
|
или |
|
fx′ |
(x1,…, xn) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если полное приращение может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∆f( x0 |
, …, x0 ) = f( x0 +∆x |
1 |
, …, x0 +∆x ) – f( x0 |
, …, x0 ) = A ∆x |
1 |
+ … + A ∆x |
n |
+ o(ρ), |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
n |
1 |
|
|
|
n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
A1, …, An |
не зависят от |
∆xi |
(i = 1, …, n) и |
|
ρ = |
|
∑(∆xk)2 , то функция |
f(x1, …, xn) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется дифференцируемой в точке |
|
( x0,…, x0 ), |
и главная линейная часть приращения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A1∆x1 + … + An∆xn, равная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
fx′ dx1 + … + fx′ |
dxn |
(dxi ≡ ∆xi, |
i = 1,…, n) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется полным дифференциалом функции |
f(x |
1 |
, …, x ) |
в точке |
( x0,…, x0 ), который |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|||
обозначается df. Слагаемые в (1) |
называются частными дифференциалами и обозначаются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
f: dx |
f = fx′ dxi |
(i = 1,…, n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Основные свойства производных и дифференциалов.
Если u(x) ≡ const, то u′(x) ≡ 0, du ≡ 0.
Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции в точке x0, то в этой точке:
(c u)′ = c u′ (c = const); d(cu) = c du; (u ± v)′ = u′ ± v′; d(u ± v) = du ± dv;
34 |
III.2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ |
||||||||||||
|
(uv) |
′ |
|
′ |
′ |
|
d(uv) = v du + u dv; |
|
|||||
|
|
= u v |
+ uv ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
′ |
|
′ |
′ |
|
u |
u dv − v du |
|
||
|
u |
|
u v − uv |
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
; |
d |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
v2 |
|
v2 |
||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
П р о и з в о д н а я |
о б р а т н о й |
|
ф у н к ц и и . |
Если функция |
|
y = f (x) |
||||||||||||||||
непрерывна и монотонна в окрестности точки |
x0 |
и существует производная f′(x0) ≠ 0, |
то об- |
|||||||||||||||||||
ратная функция g(y) дифференцируема в точке y0 = f (x0) и g′(y) = 1/f′(x0). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
П р о и з в о д н а я |
с л о ж н о й |
|
ф у н к ц и и . |
Если функции f (x) и ϕ (t) |
||||||||||||||||||
дифференцируемы в точках |
x0 и |
t0 |
соответственно и |
x0 = |
ϕ (t0), то сложная функция |
|||||||||||||||||
f (ϕ (t)) дифференцируема в точке t0 и |
( f( ϕ (t) ) )′ |
|
|
|
= f′(x0) ϕ(t0) = |
d f(ϕ) |
|
dϕ (t) |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
=t0 |
|
|
dϕ dt |
|
t=t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
П р о и з в о д н а я |
ф у н к ц и и , |
|
|
з а д а н н о й |
в п а р а м е т р и - |
|||||||||||||||||
ч е с к о й |
ф о р м е . |
Если функции |
x(t) |
|
|
и |
|
y(t) |
дифференцируемы в точке |
t0 и |
||||||||||||
x´(t0) ≠ 0, |
|
|
′ |
|
yt′(t0) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то в точке x0 = x (t0) |
yx = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xt′(t0) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
Если функции u(x) и v(x) имеют производные n-го порядка в точке x0, то в этой точке
|
|
|
|
|
(u + v)(n) = u(n) + v(n); |
dn (u + v) = dnu + dnv; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uv)(n) |
= ∑ Cnk u(k) v(n−k) , |
dn (uv) = ∑ Cnk dku dn−kv |
(формула Лейбница). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В т о р а я |
|
п р о и з в о д н а я |
о б р а т н о й |
|
ф у н к ц и и . |
Если функция |
||||||||||||||||||
y = f (x) |
|
дважды дифференцируема в точке x0, |
непрерывна и монотонна в окрестности этой |
|||||||||||||||||||||
точки и f′(x0) ≠ 0, |
то обратная функция |
x = g (y) |
также дважды дифференцируема в точке |
|||||||||||||||||||||
и g′′(y0) = −f′′(x0) / f′3(x0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В т о р а я |
|
п р о и з в о д н а я |
с л о ж н о й |
|
ф у н к ц и и . |
Если функции |
||||||||||||||||||
y = f (x) |
|
и |
x = |
|
ϕ (t) |
дважды дифференцируемы в точках |
x0 и t0 соответственно и |
|||||||||||||||||
x0 = |
ϕ (t0), |
то |
|
сложная функция |
f (ϕ (t)) |
дважды дифференцируема в точке t0 и |
||||||||||||||||||
( f( ϕ(t) ) ) |
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′2 |
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
t=t0 |
= f |
(x0) ϕ |
(t0) + f |
(x0) ϕ |
(t0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В т о р а я п р о и з в о д н а я ф у н к ц и и , |
з а д а н н о й в п а р а - |
|||||||||||||||||||||||
м е т р и ч е с к о й |
ф о р м е . |
|
Если функции x(t) |
и y(t) |
|
дважды дифференцируемы |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
′ |
|
′ |
′′ |
|
|
|
в точке t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
= |
yttxt |
− ytxtt |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
и x′(t0) ≠ 0, то в точке x0 = x (t0) yxx |
|
|
xt′3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
Ф е р м а . |
Если функция |
f (x) |
|
определена в некоторой окрестности |
|||||||||||||||||||
точки |
x0, |
|
принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение и дифференцируема |
|||||||||||||||||||||
в точке x0, то f′(x0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Т е о р е м а |
Р о л л я . |
|
Если функция f (x) |
непрерывна на [a, b], |
имеет в каж- |
|||||||||||||||||||
дой точке интервала |
(a, |
b) конечную производную и принимает равные значения на концах |
||||||||||||||||||||||
отрезка, то существует хотя бы одна такая точка c (a, b), |
что f′(c) = 0. |
|
2.5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. |
35 |
Т е о р е м а Л а г р а н ж а . Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то в этом интервале существует по крайней мере одна такая точка c,
|
|
f(b) − f(a) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что |
|
|
|
= f (c) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Т е о р е м а |
|
|
К о ш и . |
|
|
Если функции f (x) и g (y) непрерывны на [a, b], диффе- |
|||||||||||||||||||||
ренцируемы на (a, b) |
и g′(x) ≠ 0 |
для |
|
|
x (a, b), |
то существует такая точка c (a, b), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
f(b) − f(a) |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
|
= |
|
f (c) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
g(b) − g(a) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2.4. Производные от элементарных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(xα)′ = α xα−1 |
(α = const); |
(xx)′ = xx (ln x +1); |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(sin x)′ = cos x; |
|
|
|
|
(cos x)′ = −sin x; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(tg x)′ = |
|
|
1 |
|
|
; |
|
(ctg x)′ = − |
1 |
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(arcsin x) |
′ |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
(arccos x) |
′ |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 ; |
1 − x2 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(arctg x) |
′ |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
(arcctg x) |
′ |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x2 ; |
1 + x2 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(ax)′ = ax ln a; |
(loga x)′ = |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xln a |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(sh x)′ = ch x; |
|
|
|
|
|
(ch x)′ = sh x; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(th x)′ = |
|
|
1 |
; |
|
(cth x)′ = − |
1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
|
2.5. Частные производные и дифференциалы.
П р о и з в о д н а я с л о ж н о й ф у н к
= y(x |
, …, x ) дифференцируема в точке x0 = (x0 |
,…, |
||
1 |
n |
∂xi |
1 |
|
имеют частные производные |
(i = 1, …, n; j = 1, |
|||
|
|
∂t |
|
|
|
|
j |
|
|
ц и и . |
Если |
функция y |
= |
|||||
x0) , а функции x |
i |
= x |
i |
(t |
, …, t |
m |
) |
|
n |
|
|
1 |
|
|
…, m), то сложная функция y(x(t))
имеет в точке t0 частные производные |
∂y |
, |
которые вычисляются по формуле |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂y |
|
|
|
n |
∂y ∂x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
∑ |
|
∂ti . |
|
|
|
|
||||
|
|
∂t |
∂x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
j |
|
|
|
i=1 |
i |
j |
|
|
|
|
|
И н в а р и а н т н о с т ь ф о р м ы п е р в о г о д и ф ф е р е н ц и а л а . |
||||||||||||||
Если функция y (x) дифференцируема в точке |
x0, |
а функции xi = xi (t) |
(i = 1, …, n) |
|||||||||||
дифференцируемы в точке t0, то сложная функция |
y (x(t)) = y (x |
1 |
(t), …, |
x (t)) диффе- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
∂ y(x(t0)) |
|
n |
∂ y(x0) |
|
|
|
|
||||||
ренцируема в точке t0: dy = ∑ |
|
|
|
|
dtj |
= ∑ |
∂x |
dxi (t0) . |
|
|
||||
∂t |
|
|
|
|
|
|||||||||
j=1 |
|
j |
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
III.2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ |
|
|
|
||||||||||
Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е ф у н к ц и и , |
з а д а н н о й в н е - |
|||||||||||||||||||
я в н о м |
в и д е . |
Если функция задана в неявном виде уравнением F (x1, …, xn, y) = 0, |
||||||||||||||||||
которое разрешимо |
относительно |
y = f(x1, |
…, xn) |
в |
окрестности |
некоторой точки |
||||||||||||||
( x10;…; xn0 ; y0), |
и в окрестности этой точки существуют частные производные Fx′ |
, Fy′, не- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
прерывные в этой точке, |
и |
Fy′ ≠ 0, |
то в точке ( x10;…; xn0 ) |
существуют непрерывные частные |
||||||||||||||||
производные fx′ , |
|
причем |
fx′ = – Fx′ / Fy′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е н е я в н ы х ф у н к ц и й , |
о п р е - |
|||||||||||||||||||
д е л я е м ы х |
|
с и с т е м о й у р а в н е н и й . |
Пусть функции |
yj = fj(x1, …, xn) |
||||||||||||||||
(j = |
1, |
…, |
n) |
|
заданы |
неявно |
системой |
уравнений |
Fi(x1, …, |
xn, |
y1, …, |
ym) = 0 |
||||||||
(i = 1, …, m), |
|
которая в некоторой окрестности точки |
( x0 |
;…; x0 |
; y0 |
;…; y0 ) имеет единст- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂fj |
1 |
|
n |
1 |
|
m |
|
венное |
решение. |
|
Тогда |
частные |
производные |
|
|
находятся |
как |
решение системы |
||||||||||
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||
|
|
∂F ∂fj |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂F |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂xk + |
∑ |
∂yk |
|
|
= 0 |
(k = 1, 2,…, m) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i |
j=1 |
j |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д и ф ф е р е н ц и а л ы в ы с ш и х п о р я д к о в ф у н к ц и и д в у х |
||||||||||||||||||||
п е р е м е н н ы х . |
Дифференциал n-го порядка от функции двух переменных f(x, y): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
∂f(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dnf(x, y) = ∑ Cnk |
dxn−k dky, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn−k∂yk |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
где Cnk — биномиальные коэффициенты.