14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл

Решение. Построим область D (рис. 9).

Пусть новые переменные будут u и v. В системе координат uOv по ус- ловию задачи будет прямоугольник (P), который должен быть ограничен прямыми, параллельными координатным осям: u = u1 , u = u2 , v = v1 и v = v2 . Из уравнений линий, задающих границы области D имеем:

xy = 1, xy = 2, x − y = −1, x − y = 1.

y

y = 2 x

v

1

–1

Рис. 10

331

§6. Приложения двойного интеграла

6.1.Вычисление площадей плоских фигур

Площадь S плоской области D, расположенной на плоскости XOY вычисляется в декартовых координатах по формуле

S = ∫∫ f (x, y)dxdy ,

D

а в полярных координатах по формуле

S = ∫∫rdrdϕ .

D

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной ли-

ниями: y2 = 10x + 25, y2 = −6x + 9 (рис. 1).

Решение. Для построения области D преобразуем уравнения границ, за-

Каждое из этих уравнений определяет параболу с осью симметрии Ox.

–3

– 15

A

Рис. 1

332

точек A(-1;-15) и B(-1; 15) .

Отметим, что внешние пределы интегрирования удобнее взять по y, так как в противном случае область интегрирования нужно разбивать на две части и соответственно вычислять два интеграла. Учитывая симмет- рию области D относительно оси Ox , получим

Решение. Данная фигура имеет границы, заданные уравнениями окружно- стей и лучом, выходящим из начала координат, но для вычисления площа- ди целесообразно перейти к полярным координатам (рис. 2)

y

r = 8sin ϕ

D

y = – x

4

r = 4sin ϕ 2

Рис. 2

Тогда

333

6.2.Вычисление объемов тел

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y) , снизу

областью D плоскости XOY, а сбоку цилиндрической поверхностью, обра- зующие которой параллельны оси Oz (рис. 3, 4), находится по формуле

V = ∫∫ f (x, y)dxdy .

334

Проекция данного тела на плоскость XOY имеет следующий вид

(рис. 6).

y

2

2x + 2y – 6 = 0

Рис. 6

Тогда объем искомого тела

z

1

1

2 x

Рис. 7

335

Проекция данного тела на плоскость XOY имеет вид (рис. 8)

y

y = x2

y = x

1

Рис. 8

Пример 5. Оси двух круговых цилиндров с одинаковыми попереч- ными сечениями пересекаются под прямым углом. Вычислить объем об- щей части этих цилиндров.

Решение. Выберем прямоугольную систему координат в пространстве та- ким образом, чтобы оси цилиндров совпадали с осями OY и OZ, а радиус поперечного сечения каждого из цилиндров равен r. Тогда уравнения ци- линдрических поверхностей будет иметь вид:

-x2 + z 2 = r 2 – цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oy;

-x2 + y 2 = r 2 – цилиндрическая поверхность с осью симметрии Oz.

Построим данное тело (рис. 9).

На рис. 9 отмечена одна восьмая часть тела, полученного пересече- нием двух цилиндров. Подынтегральная функция – это уравнение, разре- шенное относительно y (уравнение поверхности цилиндра с осью симмет- рии Oy), т.е.

f (x, y) = r 2 − x2

336

z

y

x

Рис. 9

Проектируя ее часть, отрезанную второй поверхностью и содержа- щуюся в первом октанте, получим область интегрирования – это часть кру-

га x2 + y 2 ≤ r 2 , расположенная в первой четверти плоскости XOY. Поэто-

му, имеем

Следовательно V = 16 r 3 . 3

Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

x2 + y 2 = 4x, z = x, z = 2x .

337

Значит V = 8π .

6.3.Вычисление площадей поверхностей

Пример 7. Вычислить площадь той части плоскости 6x + 3y + 2z = 12 , которая заключена в первом октанте.

Решение. Построим поверхность, площадь которой требуется найти (рис. 11).

z

6

Решение. Построим поверхность, площадь которой требуется вычислить

(рис. 12).

Границей проекции вырезанной части на плоскость XOY будет лем- ниската. Цилиндр вырезает из параболоида две равные поверхности. Так

338

Переходя к полярным координатам, имеем

x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; 1 + x2 + y2 = 1 + r2

уравнение лемнискаты

(r2 + cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ)2 = r2 cos2 ϕ − r2 sin2 ϕ

В силу того, что параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей XOY и YOZ, то достаточно вычислить интеграл по одной чет- верти лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскости XOY. То- гда будем иметь

Таким образом, S = 20 − 3π . 9

z

y

x

Рис. 12

339

-считаем, что в пределах каждой из частей DVi плотность прибли-

женно постоянна и равна плотности ρ(Mi ) в выбранной точке;

- тогда масса mi этой части DVi (i =1, n) будет приближенно равна

mi = DVi ×r(Mi ) ;

и, следовательно, задача решена.

Этот физический пример приводит к общему определению тройного интеграла, который является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.

§2. Определение тройного интеграла

иусловия его существования

Пусть в некоторой пространственной области (V) задана функция f(x,y,z). Разобьем эту область на конечное число частей (Vi ) (i =1, n) ,

имеющих соответственно объемы DVi (i =1, n) . В пределах i-того элемента

(Vi ) выбираем точку Mi (xi , yi , zi ) , значение функции в этой точке f (Mi )

умножим на DVi , получим интегральную сумму

n

Ii = ∑ f (xi , yi , zi ) Vi .

i =1

340