14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл
..pdfSц = Sш + Sк ,
где Sц , Sш и Sк – соответственно площади кругов, получающихся при
пересечении цилиндра, шара и конуса плоскостью (MN). Это соотношение выполняется для любых сечений цилиндра, шара и конуса, лежащих в од- ной и той же горизонтальной плоскости. В силу принципа поперечных се- чений перейдем от соотношения
Sц = Sш + Sк
для площадей к такому же соотношению для объемов
Vц = Vш + Vк .
8.6. Объем тела вращения
Важным применением формулы объема тела по площадям попереч- ного сечения
b
V = ∫S (x)dx
a
является формула нахождения объема тела вращения вокруг оси.
Пусть криволинейная трапеция ограничена дугой L, перпендикуля- рами, опущенными из концов этой дуги на ось Ox, и отрезком [ab] , за-
ключенным между основаниями перпендикуляров, вращается вокруг Ox, то полученное при этом тело называется телом вращения с осью Ox и об- разующей L (рис. 1).
y |
|
|
L |
y = f(x) |
|
a |
b |
x |
О |
|
|
Рис. 1
281
Получим формулу для объемов тел вращения вокруг осей координат. Сечениями, перпендикулярными к оси вращения, будут круги; поэтому, если знаем закон изменения радиусов этих кругов, то получим искомый объем, используя форму объема по площадям поперечного сечения.
Пусть ось вращения Ox, а уравнение образующей y = f(x). Тогда площадь сечения равна πy2 , и объем тела, ограниченного двумя сечения-
ми x = a и x = b, равен
b
V = π∫( f (x))2 dx .
a
При вычислении объема тела вращения вокруг оси Oy пишут урав- нение кривой, выражая x через y, т.е. x = ϕ( y) . Тогда искомый объем те-
ла вращения вокруг оси Oy равен
β |
β |
V = π∫ x2dy = π∫(ϕ( y))2 dy .
|
|
α |
α |
|
||
Пример 32. Вычислить объем конуса и шара. |
|
|||||
Решение. 1) |
пусть конус имеет радиус основания R и высоту |
h. Конус |
||||
получается при вращении |
OAB вокруг оси Ox. |
|
||||
y |
A |
|
y |
|
||
|
|
|
y = |
R |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
О |
B |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
R |
|
Уравнение образующей конуса y = R x , а пределы интегрирования – h
от 0 до h, тогда искомый объем
h |
R |
2 |
πR2 h |
πR2 x3 |
|
h |
πR2 h |
||||||
|
|||||||||||||
V = π∫ |
|
|
x |
dx = |
|
∫ x2dx = |
|
|
|
|
|
= |
; |
|
h2 |
h2 |
3 |
||||||||||
0 |
h |
|
|
0 |
|
|
0 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) пусть данный шар радиуса R, а уравнение вращающейся полуок- ружности y = R2 − x2 .
282
y |
y |
|
y = R 2 − x 2
x
О R |
x |
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
R |
(R2 - x2 )dx = |
4 |
pR3 . |
|
|
|
|
|
|
V = p × ∫ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 33. Вычислить объем |
|
||||||||||
тела, полученного вращением части |
y |
||||||||||
OB параболы |
y2 = 2 px |
вокруг оси |
|||||||||
Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Решение. Уравнение параболы, |
раз- |
||||||||||
решенное относительно |
x |
имеет вид |
y0 |
||||||||
|
|||||||||||
|
x = |
|
y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
y 2 = 2 px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда искомый объем |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
y4 |
|
|
|
py5 |
|
|
|
|
|
|
V = p ∫ |
|
|
dy = |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
4 p2 |
|
20 p2 |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 34. Вычислить объем тора.
Решение. Тором называется тело, получающееся при вращении круга радиу- са r вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b (b > r) от центра.
Если круг вращается вокруг прямой CD, тогда объем тора есть раз- ность объемов вращения криволинейных трапеций CMKND и CMLND вокруг оси Oy.
Найдем уравнение кривых в виде x = ϕ( y) . Пусть начало координат находится в точке O, тогда уравнение окружности LMNK имеет вид
(x - b)2 + y2 = r2 ,
тогда
x = b ± r2 - y2 .
283
y |
|
|
|
C |
|
M |
|
|
r |
|
|
O |
L |
K |
x |
|
|
(b,0) |
|
D |
|
N |
|
Уравнение кривой MKN будет
x = j, ( y) = b + r2 - y2 ,
а уравнение кривой MLN
|
|
|
x = j2 ( y) = b - r2 - y2 . |
||||||||||||||
Пределы интегрирования в промежутке |
[-r;r ] , тогда объем тора |
||||||||||||||||
можно вычислить по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
V = p ∫ (b + r 2 - y2 )2 dy - p ∫ (b - r2 - y2 )2 dy = 4pb ∫ r2 - y2 dy |
|||||||||||||||||
−r |
|
|
|
|
|
−r |
|
|
|
|
|
|
|
|
−r |
||
Неопределенный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dy = |
y |
|
|
+ |
r 2 |
arcsin |
y |
+ C . |
||||||
∫ |
|
r 2 - y2 |
r2 - y2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
r |
||||||||||
Сделаем подстановку для |
y Î[-r;r] получим, что искомый объем |
||||||||||||||||
тора V = 2p2br2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем тела вращения для кривой, заданной в параметрической форме
Пусть уравнение вращающейся кривой задано в параметрической форме
x = ϕ(t); y = ψ(t)
считаем при этом, что функция x = ϕ(t) определяет t как однозначную функцию от x: t = φ(x) .
Тогда искомый объем тела вращения вокруг оси Ox
b |
|
x = j(t); y = y(t) |
|
t2 |
× j¢(t)dt . |
|
|
||||
V = p∫ y2dx = |
|
|
= p ∫ (y(t))2 |
||
a |
|
j(t1 ) = a;j(t2 ) = b |
|
t1 |
|
|
|
|
284
Отметим, что если |
y = ψ(t) определяет |
t |
как однозначную функ- |
||||
цию от y, то объем тела вращения вокруг оси Oy |
|
|
|||||
β |
|
|
x = ϕ(t); y = ψ(t) |
|
t2 |
|
′ |
|
|
|
|
||||
V = π∫ x |
2 |
dy = |
|
= π ∫ [ |
2 |
||
|
ψ(t1 ) = α;ψ(t2 ) = β |
ϕ(t)] |
ψ (t)dt . |
||||
α |
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 35. Вычислить объем тел, образованных вращением фигуры ОВАО вокруг оси Oy и вокруг оси ВС для циклоиды
x = a(t − sin t); y = a(1 − cos t), t [0;2π] .
Решение. Построим искомую фигуру, определяющую тело вращения
y
D B E
О |
C |
A |
При вращении вокруг оси Oy получаем объем
2a |
2a |
2a |
Vy = π ∫ (x22 − x12 )dy = π ∫ x22 dy − π ∫ x12 dy , |
||
0 |
0 |
0 |
где x = x1 ( y) – уравнение кривой ВА; |
x = x2 ( y) |
– уравнение кривой ОВ. |
При подстановке y = a(1 − cost) , следует иметь ввиду, что для первого ин-
теграла t меняется от 2π до π, для второго – от 0 до π. Тогда имеем
π π
Vy = π ∫ a2 (t − sin t)2 a sin tdt − π∫a2 (t − sin t)2 sin tdt =
2π 0
0
= πa3 ∫ (t − sin t)2 sin tdt = 6π3a3.
2π
Для вычисления объема тела, получающегося при вращении вокруг оси ВС, перенесем начало координат в точку С, тогда в новых координа- тах уравнения имеют вид
x′ = a(t − π − sin t); y′ = a(1 − cos t) .
285
Учитывая лишь дугу ВА, получим
|
2a |
π |
|
||
V = π ∫ (x′)2 dy′ = πa3 ∫ (t − π − sin t)2 sin tdt = |
|||||
0 |
|
2π |
|
||
0 |
|
πa3 |
|||
= |
t − π = z |
= −πa3 ∫ |
(z + sin z)2 sin zdz = |
||
(9π2 − 16). |
|||||
|
|
π |
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Пример 36. Вычислить объем тела, образованного вращением во- круг полярной оси фигуры, ограниченной этой осью и дугой логарифмиче-
ской спирали r = eϕ , ϕ[0; π] .
Решение. Запишем данное уравнение в параметрической форме
|
|
|
|
|
ϕ |
cos ϕ |
|||
|
|
|
x = r cos ϕ = e |
|
|||||
|
|
|
|
= r sin ϕ = eϕ sin ϕ |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
||||||
Тогда имеем |
y2 = e2ϕ sin2 ϕ; dx = eϕ (cos ϕ − sin ϕ)d ϕ , откуда |
||||||||
b |
π |
|
|
|
π |
|
|||
V = π∫ y2dx = π∫e3ϕ sin2 ϕ(cos ϕ − sin ϕ)dϕ = = − |
(e3π − 1) . |
||||||||
|
|||||||||
a |
0 |
|
|
15 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Значение V получили отрицательное, так как значению ϕ = 0 соот- |
|||||||||
ветствует точка (1;0) , а значению ϕ = π – |
точка N (−eπ ,0) , лежащая левее |
||||||||
точки М. |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, V = |
π |
(e3π − 1) . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8.7. Площадь поверхности вращения |
||||||||
Пусть на отрезке [ab] |
y = f(x) имеет непрерывную производную. |
Рассмотрим поверхность, образуемую вращением дуги АВ вокруг оси Ox, уравнение этой дуги задается в виде y = f(x). Площадь поверхности, описан- ной дугой некоторой кривой, определим как предел площадей тех поверхно- стей, которые образованы вращением вписанных в дугу ломанных (хорд) при условии, что наибольшее звено этих ломанных стремится к нулю.
Отрезок |
[ab] разбиваем точками |
x0 , x1,..., xn |
на отрезки длины |
|||
x0 , x1,..., xn , |
восстанавливаем ординаты |
y0 , y1,..., yn |
в точках деления. |
|||
|
|
(i = |
|
) . Когда кривая вращается вокруг оси Ox, |
||
Строим хорды |
Mi −1Mi |
1, n |
||||
каждая из хорд Mi −1Mi |
описывает боковую поверхность усеченного ко- |
286
нуса. Искомая поверхность тела вращения – сумма боковых поверхностей этих усеченных конусов:
|
n |
|
yi −1 + yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
P = ∑ |
2p |
× |
|
c k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
n |
2 |
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
i =1 |
y |
Ki |
Mi |
||||||
y |
Mi |
|
|
|||||||
y = f (x) |
Mi −1 |
|
|
|
|
Mi −1 |
|
yi |
||
|
B |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
О a x0 x1 |
xi −1 xi |
|
|
|
|
x |
c |
x |
||
|
|
|
|
|
|
i −1 |
i |
i |
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
n |
yi −1 + yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Dx )2 |
+ (Dy )2 |
|
|
||||||
|
|
P = lim |
|
|
|
∑2p |
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
||
|
|
|
(max x |
→0) i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ( f ¢(x))2 × Dxi |
|
1 + ( f ¢(x))2 dx. |
|||||||||
= |
lim |
|
∑2py(x) |
× |
=2p∫ f (x) × |
|||||||||||
|
n→∞ |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
(max xi →0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, площадь поверхности вращения определяется по формуле
b
P = 2p∫ y 1 + ( y¢)2 dx .
a
Пример 37. Найти площадь поверхности вращения дуги кубической параболы a2 y = x3 между точками x = 0 и x = a вокруг оси Ox.
|
|
3x2 |
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
||
Решение. Так как y¢ = |
|
, тогда 1 + ( y¢)2 |
|
|
a4 + 9x4 . |
||||||||||
a2 |
a2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P = |
2p |
|
a4 + 9x4 x3dx = pa |
|
|
|
|
-1) . |
|
||||||
∫ |
|
(10 |
|
10 |
|
||||||||||
a4 |
|
||||||||||||||
|
0 |
27 |
|
|
|
|
|
|
287
Пример 38. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ox
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ y |
|
= a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
астроиды |
x 3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
; y¢ = - |
y 3 |
|
||||||||
Решение. |
Здесь имеем y = a 3 |
- x 3 |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что дуга ВА дает только половину искомой поверхности.
y
B
a
a
A x
Тогда имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
y 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
P = 2 × 2p∫ a 2 |
- x 3 |
× |
1 |
+ |
|
|
|
|||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
a |
2 |
2 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
||
|
2 |
12 |
pa2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx = 4pa 3 ∫ a 3 |
- x 3 |
x 3 dx = |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если вращающаяся кривая задана параметрически |
уравнениями: |
x = ϕ(t), y = ψ(t) , и при этом считаем, что производные x′ |
и y′ сущест- |
вуют и непрерывны, а для функции существует обратная, тогда
t2
P = 2p ∫ y (x¢)2 + ( y¢)2 dt .
t1
Если вращающаяся кривая задана в полярных координатах уравне- нием ρ = f (ϕ) и ρ′ существует и непрерывна, то
ϕ2 |
|
|
|
|
|
rsin j × r2 |
+ (r¢)2 d j. |
||||
P = 2p ∫ |
|||||
ϕ1 |
|
|
|
|
Пример 39. Вычислить площадь поверхности, полученной вращени- ем эллипса вокруг большой его оси.
288
Решение. Считаем, что эллипс задан в параметрической форме
|
x = a cos ϕ; y = bsin ϕ . |
|
|
|
|
|
|
Тогда x′ = −a sin ϕ; |
y′ = b cos ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
a2 |
− b2 |
||
Обозначим через k – |
эксцентриситет эллипса |
|
|
|
. |
||
|
|
|
a
При вращении эллипса вокруг большой оси получим полную по- верхность эллипсоида. Надо удвоить поверхность, полученную от враще- ния дуги четверти периметра эллипса, соответствующей изменению пара-
метра ϕ от 0 до |
π . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
P = |
4π∫bsin ϕ |
|
|
a2 sin2 |
ϕ + b2 cos2 ϕdϕ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= −4πb ∫ a2 (1 |
− cos2 (ϕ) + b2 cos2 ϕ`d cos ϕ = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πab |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= −4πab ∫ |
1 − k 2 cos2 ϕd cos ϕ = |
t = k cos ϕ |
= − |
∫ |
1 − t 2 dt = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
∫ 1 − t 2 dt = |
|
|
arcsin t |
+ |
|
|
|
1 − t |
|
= |
2πab |
1 − k 2 |
+ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||
Следовательно, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
P = 2πab |
1 − k |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.9. Приложение определенных интегралов
квопросам физики, механики и техники
1.Вычисление давления жидкости. Работа.
Пример 40. Вычислить силу давления воды на вертикальную тре- угольную пластину, имеющую основание b и высоту h, погруженную в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды.
289
Решение. Выберем систему координат следующим образом
|
B |
y |
|
|
x |
M |
N |
h |
dx
A C
x
Рассмотрим горизонтальную полоску, находящуюся на произволь- ной глубине x и имеющую толщину x ≈ dx . Применяя эту полоску в ка- честве прямоугольника, находим дифференциал площади dS = MNdx . Из
подобия треугольников DBMN и DABC имеем MN = b x , тогда h
dS = b x × dx h
Сила давления воды на эту полоску dP = x × dS (с учетом удельного веса воды 1).
Тогда сила давления воды на всю пластину АВС равна
h |
b |
h |
b |
|
|
P = ∫ xdS = |
∫ x2dx = |
h2 . |
|||
h |
3 |
||||
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
Пример 41. Найти величину давления на полукруг, вертикально по- груженный в жидкость, если его радиус равен R, а диаметр его лежит на свободной поверхности жидкости (удельный вес жидкости равен γ).
Решение. Разобьем площадь полукруга на элементы – полоски, параллель- ные поверхности воды.
Площадь одного такого элемента, находящегося на расстоянии x от по- верхности, равна
dS = 2R2 - x2 dx .
Сила давления жидкости на элементарную полоску равна
dP = gx × dS
290