14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл
..pdfМОДУЛЬ 4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение двойного интеграла
Рассмотрим в плоскости Oxy замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z = f (x, y) .
Область D |
сетью производных кривых (прямых) разбиваем на n |
|||
частей, площади которых |
Si (i = |
|
) . В каждой из полученных частей |
|
1, n |
||||
выбираем точку |
Pi = P(xi , yi ) |
и найдем значения функции в этих точках |
f (Pi ) и составим сумму произведений вида |
f (Pi ) × DSi (рис. 1) |
|
n |
Vn = f (Pi ) × DSi + f (P2 ) × DS2 + ... + f (Pn ) × DSn = ∑ f (Pi ) × DSi |
|
|
i =1 |
y |
|
D |
|
Pi |
Si |
L
О |
x |
|
Рис. 1 |
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x,y) в об- ласти D.
Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, построенных с помощью функции f(x,y) для данной области D
Vn , |
Vn |
, ..., Vnk |
(2) |
1 |
2 |
|
|
при различных способах разбиения области D на части Si . |
|||
Если существует конечный предел |
|
||
|
|
|
n |
V = lim Vnk |
= |
lim |
∑ f (Pi ) × DSi , |
n →∞ |
|
n →∞ |
i =1 |
(mzx Si →0) |
|
(max Si →0) |
|
независящий от способа разбиения области D на части, от выбора точек
Pi (i =1, n) , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается так
301
|
∫∫ f (x, y)dS |
|
или ∫∫ f (x, y)dxdy , |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
D |
|
||||
т.е. по определению имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
∫∫ f (x, y)dxdy = lim ∑ f (Pi ) |
Si . |
|||||||||
|
D |
|
|
|
n →∞ i i =1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
max S |
|
||||
|
Область D называют областью интегрирования. |
||||||||||
|
Геометрический смысл двойного интеграла состоит в следующем: |
||||||||||
если |
f(x,y) > 0, то двойной интеграл от функции |
f(x,y) по области D ра- |
|||||||||
вен объему тела Т, ограниченного поверхностью |
z = f (x, y) , плоскостью |
||||||||||
z = 0 |
и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны |
||||||||||
оси Oz, а направляющей служит граница области D. |
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Механический (физический) смысл двойного интеграла состоит в сле- дующем: двойной интеграл от функции f(x,y) по области D есть масса пла- стины, ограниченной областью D с плотностью f(x,y) в каждой точке D.
z
D
z = f (x, y)
О |
y |
x
302
Для двойного интеграла справедливы следующие свойства.
Теорема |
1. Двойной |
интеграл |
от |
суммы |
двух |
функций |
ϕ(x, y) + ψ(x, y) |
по области D |
равен сумме двух двойных интегралов по |
||||
области D от каждой из функций в отдельности |
|
|
|
|||
∫∫(ϕ(x, y) + ψ(x, y))dxdy = ∫∫ϕ(x, y)dxdy + ∫∫ψ(x, y)dxdy . |
|
|||||
D |
|
D |
|
D |
|
|
Теорема 2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного |
||||||
интеграла: если a – const, то |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫af (x, y)dxdy = a∫∫ f (x, y)dxdy . |
|
|
|||
|
D |
D |
|
|
|
|
Теорема 3. Если область |
D разбита на две области |
D1 и D2 без об- |
||||
щих внутренних точек, а f(x,y) |
непрерывна во всех точках области D, то |
|||||
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ |
f (x, y)dxdy |
(1) |
|||
|
D |
D1 |
D2 |
|
|
|
Доказательство. Интегральную сумму по области D можно пред- |
||||||
ставить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
∑ f (x, y)DSi = ∑ f (x, y) × DSi + ∑ f (x, y)DS1 |
(2) |
||||
|
D |
D1 |
D2 |
|
|
при этом первая сумма содержит слагаемые, соответствующие для области
D1 , вторая – |
D2 . |
|
|
|
|
|
|
Так как по определению двойно- |
|
||||||
го интеграла величина его не зависит |
y |
||||||
от способа разбиения, то, разбивая об- |
|||||||
|
|||||||
ласть D |
таким образом, |
что общая |
D1 |
||||
граница областей |
D1 |
и |
D2 является |
||||
D2 |
|||||||
границей площадок |
DSi , переходя к |
|
|||||
пределу в |
(2) при |
DSi |
® 0 получим |
|
|||
равенство (1). |
|
|
|
|
x |
||
Отметим, что доказанная теорема |
|
||||||
справедлива для |
любого |
конечного |
|
||||
числа слагаемых. |
|
|
|
|
|
303
§ 2. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла
Пусть область D лежит в плоскости Oxy и является областью ин- тегрирования для двойного интеграла. Различают два основных вида об- ласти интегрирования – правильная в направлении оси Oy и правильная в направлении оси Ox.
Правильная область в направлении оси Oy – |
это область |
D на плос- |
||||||
кости XOY, |
ограниченная |
снизу линией |
y = ϕ1 ( x) , сверху |
– линией |
||||
y = ϕ2 (x) |
(функции ϕ1 (x) |
и ϕ2 (x) – непрерывны), слева и справа – |
от- |
|||||
резками прямых x = a и x = b (рис. 1). |
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
y = ϕ2 (x) |
|
y |
|
y = ϕ2 (x) |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D |
|
|
A |
D |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ϕ1 (x) |
|
|
|
A |
y = ϕ1 (x) |
B |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
a |
|
b |
|
|
О |
a |
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что в частных случаях один или оба отрезка |
( AA1 |
или |
||||||
BB1 ) могут превратиться в точку (рис. 2). |
|
|
|
|
||||
Для правильной области в направлении оси |
Oy характерно следую- |
щее: область D проектируется в некоторый отрезок [a,b] оси Ox, причем
любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через внутреннюю точ-
ку области D (или через внутреннюю точку отрезка [a,b] ), пересекает гра-
ницу области D (линии y = ϕ1 (x) и y = ϕ2 (x) ) в двух точках (рис. 1, 2).
Отметим, что, если проводить лучи, параллельные оси Oy и одинаково с
ней направленные, |
они будут |
входить в область |
D |
на линии |
|
( A1B1 ) y = ϕ1 ( x) – |
линия входа в область D в направлении оси |
Oy, а вы- |
|||
ходить из области |
D |
на линии |
( AB ) y = ϕ2 ( x) – линия выхода из об- |
ласти D в направлении оси Oy.
304
|
|
Правильная область в направлении |
оси Ox – это область |
D на плос- |
||||||
кости XOY, ограниченная слева линией |
x = ψ1 ( y) , справа – |
x = ψ2 ( y) |
||||||||
(функции ψ1 ( y) и |
ψ2 ( y) непрерывны), снизу и сверху – |
отрезками пря- |
||||||||
мых y = c и y = d. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
d |
|
D1 |
D2 |
|
|
|
|||
|
|
d |
D1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ψ1( y) |
x = ψ2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ψ1( y) |
x = ψ2 ( y) |
||||||
|
|
|
D |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||
|
|
C1 |
C2 |
|
|
|
||||
|
|
|
C1 |
|
|
C2 |
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
О |
|
|
О |
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
Рис. 4 |
|
|
||
|
|
В частных случаях один или оба отрезка (C1C2 ) |
и |
(D1D2 ) могут |
превратиться в точку (рис. 4). Для правильной области в направлении оси Ox характерно следующее: область D проектируется в некоторый отрезок [c, d ] оси Oy, пересекает границы области D (линии x = ψ1 (t) и x = ψ2 (t) ), не более чем в двух точках (рис. 3, 4). Отметим, что если про-
водить лучи, параллельные оси Ox и одинаково направленные, они будут
входить в область D на линии (C1D1 ) , x = ψ1( y) – |
линия входа в область |
D в направлении оси Ox, а выходить из области |
D на линии (C2 D2 ) , |
x = ψ2 ( y) – линия выхода из области D в направлении оси Ox.
Область, правильную как в направлении оси Ox, так и в направлении оси Oy называют правильной областью.
Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Выражение вида
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
ID |
= ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx |
(1) |
|
|
|
|
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|
называют повторным (двукратным) интегралом от функции |
f(x,y) по об- |
|||
ласти D (рис. 1). |
|
|
|
|
Вычисление повторного интеграла (1) начинаем с вычисления инте- грала, стоящего в скобках (внутреннего), причем интегрирование ведется по переменной y, а x считается постоянной. В результате получим непре- рывную функцию от x, т.е.
305
ϕ2 |
( x) |
F(x) = ∫ f (x, y)dy . |
|
ϕ1 |
( x) |
Интегрируя по x полученную функцию в пределах от a до b, по- лучим величину повторного интеграла – некоторое постоянное число
b
ID = ∫F(x)dx .
a
1 x2
Пример 1. Вычислить повторный интеграл ID = ∫ ∫
0 0
(x + y)dy dx .
Решение. Построим область интегрирования D. Границы области D оп-
ределяются уравнениями x = 0; x = 1; y = 0; y = x2
y
y = x2
1A
x= 1
1
О |
B |
y = 0 x |
Искомая область |
D – |
это «криволинейный» треугольник ОАВ. За- |
||||||||||||||||||||||||||
метим, что область |
|
D правильная как по направлению оси Ox, так и по |
||||||||||||||||||||||||||
направлению оси Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисление данного интеграла начинаем с нахождения внутреннего |
||||||||||||||||||||||||||||
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y |
2 |
|
x |
2 |
= x3 + |
x |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
F = ∫ (x + y)dy ∫ xdy + ∫ |
ydy = x × y |
+ |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x4 |
|
x4 |
|
x5 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I |
D |
= |
∫ |
x3 |
+ |
|
dx = |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
4 10 20 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
306
|
|
|
Свойства повторного интеграла |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Свойство 1. Если в направлении оси |
|
Oy правильную область |
D |
|||||||||||||||||
разбить на две области |
D1 |
и |
D2 прямой, параллельной оси |
Oy или оси |
||||||||||||||||
Ox, то повторный интеграл |
ID |
по области D будет равен сумме таких же |
||||||||||||||||||
интегралов по областям |
|
D1 |
и D2 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ID = ID |
+ ID . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Пусть прямая |
|
|
x = c (a < c < b) |
разбивает область |
||||||||||||||||
D на две правильные в направлении оси Oy области D1 |
и D2 . Тогда |
|
||||||||||||||||||
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 ( x) |
|
|
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ID |
= ∫ |
∫ |
f (x, y)dx dy = |
F (x) |
|
= |
∫ f (x, y)dx |
= ∫ F (x)dx = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
c |
b |
|
c ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫ F (x)dx + ∫F (x)dx = ∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y)dx |
|
dy = ID + ID . |
||||||||
|
f (x, y)dx dy + ∫ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||||
a |
c |
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
c ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, имеем |
ID = ID + I |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если область D можно разбить прямыми, параллельными осям координат, на любое число правильных областей D1, D2 ,..., Dn , тогда
ID = ID1
Свойство 2. Если M и m
прерывной в области D функции
+ ID2 + ... + IDn .
наибольшее и наименьшее значения не- f(x,y), тогда (S – площадь области D)
b ϕ2 ( x) |
|
× S |
|
|
m × S £ ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx £ M |
(2) |
|
|
|
|
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|
|
Доказательство. Так как |
M наибольшее, m – |
наименьшее значения |
f(x,y) в области D, то имеем
ϕ2 ( x)
∫
ϕ1 ( x)
ϕ2 (
∫
ϕ1 (
ϕ2 |
( x) |
|
|
f (x, y)dy £ |
∫ |
M × dy = M × (j2 (x) - j1 (x)) = M × S |
(3) |
ϕ1 |
( x) |
|
|
x) |
ϕ2 |
( x) |
|
f (x, y)dy ³ |
∫ mdy = m(j2 (x) - j1 (x)) = m × S |
(4) |
|
x) |
ϕ1 |
( x) |
|
Из неравенств (3) и (4) следует, что
m × S £ ID £ M × S .
307
Свойство 3. (теорема о среднем). Повторный интеграл ID от не-
прерывной функции f(x,y) по области D с площадью S |
равен произведе- |
нию площади S на значение функции в некоторой точке P области D, т.е. |
|
ID = f (P) × S |
(5) |
Доказательство. Так как f(x,y) непрерывна в области D, то она принима- ет наибольшее (M) и наименьшее (m) значения в D, а, следовательно, имеет место неравенство m ≤ f (x, y) ≤ M .
В силу свойства 2 имеем
|
|
m × S £ ID £ M × S |
||||||
Так как S > 0, то из последнего неравенства имеем |
||||||||
|
|
|
m £ |
ID |
£ M . |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
S |
|||
Число |
ID |
заключено между наибольшим и наименьшим значения- |
||||||
|
||||||||
|
S |
|||||||
ми функции |
f(x,y), а в силу непрерывности функции f(x,y) в области D |
|||||||
она принимает в некоторой точке P D значение, равное числу |
1 |
× ID , |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
т.е. имеет место равенство |
||||||||
|
|
|
1 |
× ID = f (P) . |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S |
|||||
Откуда |
ID = f (P) × S . |
Что и требовалось доказать.
§ 3. Вычисление двойного интеграла
Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x,y) по пра- вильной области D равен повторному интегралу от данной функции по области D, т.е.
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx |
(1) |
|
|
|
|
|
|
D |
a ϕ1 ( x) |
|
|
Доказательство. Область D прямыми, параллельными осям коор- динат, разбиваем на n правильных областей (прямоугольников), площади которых равны соответственно DS1, DS2 ,...DSn .
Для каждой из этих областей справедлива теорема о среднем (свойство 3)
I |
D1 |
= f (P ) × DS , I |
D2 |
- f (P ) × DS |
2 |
...I |
Dn |
= f (P ) × DS |
n |
. |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
n |
|
308
В силу свойства 1 для повторного интеграла имеем
|
|
|
n |
|
ID = ID |
+ ID |
+ |
... + ID = ∑ f (Pi ) × DSi . |
(2) |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
i =1 |
|
В правой части равенства (2) стоит интегральная сумма для функции |
||||
f(x,y) по области D, предел этой суммы при n → ∞ (max |
Si → 0) суще- |
ствует и равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D. Вели-
чина повторного интеграла |
ID , стоящего в левой части равенства (2), не |
||||
зависит от n. Поэтому, переходя к пределу в равенстве (2), получим |
|||||
ID = |
|
n |
|
= ∫∫ f (x, y)dxdy |
|
lim |
∑ f (Pi ) |
Si |
|
||
max Si |
→0 i =1 |
|
D |
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
или |
|
ID = ∫∫ f (x, y)dxdy . |
|
||
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx . |
|
||
|
|
|
|
|
|
D |
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
|
Что и требовалось доказать. |
|
|
|
||
Замечание 1. Для случая, когда |
f (x, y) ³ 0 формула (1) |
имеет сле- |
|||
дующее геометрическое истолкование. |
|
|
z = f (x, y) , |
||
Пусть существует |
тело, ограниченное поверхностью |
плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 1).
Объем данного тела равняется двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:
|
|
V = ∫∫ f (x, y)dxdy |
(3) |
|
|
|
D |
|
|
Вычислим объем данного тела по площадям поперечных сечений. |
||||
Проведем плоскость |
x = const (a < x < b) , рассекающую данное тело. Дан- |
|||
ные плоскости параллельны координатной плоскости |
ZOY. Находим пло- |
|||
щадь плоской фигуры S(x), получающейся в сечении |
x = const . |
|||
Эта |
фигура – |
криволинейная |
трапеция, ограниченная линиями |
|
z = f (x, y) |
(x − const), z = 0, y = ϕ1 (x), y = ϕ2 (x) , площадь которой выразим |
|||
с помощью интеграла |
ϕ2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (x) = ∫ |
f (x, y)dy . |
(4) |
ϕ1 ( x)
309
z
y
z = f (x, y)
S(x)
y = ϕ2 (x)
y = ϕ1 (x)
О |
a x |
b |
x |
Рис. 1
Тогда объем искомого тела
b ϕ2 ( x) |
|
|
|
V = ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx . |
(5) |
|
|
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
Вычислим объем этого же тела по площадям поперечных сечений, проводя плоскости y = const (c < y < d ) . Эти плоскости параллельны коор-
динатной плоскости ZOX. Находим площадь плоской фигуры S(y), полу- чающаяся в сечении y = const . Эта фигура – криволинейная трапеция, ог-
раниченная линиями z = f (x, y) (y − const), z = 0, x = ψ1 ( y) , x = ψ2 ( y) ,
площадь которой выразим с помощью интеграла
ψ2 |
( y) |
|
S ( y) = ∫ f (x, y)dx . |
(6) |
|
ψ1 |
( y) |
|
Тогда объем данного тела
d ψ2 ( y)
V = ∫ ∫
c ψ1 ( y)
f (x, y)dx dy . (7)
В формулах (3), (5) |
и (7) левые части равны, следовательно, равны |
||||||
правые, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
b j2 ( x) |
|
d ψ2 ( y) |
|
|
||
∫∫ |
f (x, y)dxdy = ∫ |
∫ |
f (x, y)dy dx = ∫ |
∫ |
f (x, y)dx dy . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
a j1 ( x) |
|
c ψ1 ( y) |
|
|
310