Мальханов - Общая Физика

d

l

d << l

Каждый виток создает поле так, что на оси соленоида (и в ближайшей окрестности оси) густота линий одинакова (поле однородно), а снаружи их густота ничтожно мала. Для расчета поля на оси соленоида воспользуемся законом полного тока

∫ B dl = µ0 Σ i k. L

Вычислим интеграл – циркуляцию вектора магнитной индукции по контуру обозначенному на рисунке. Интегрирование разобьем по четырем сторонам прямоугольника, имеем

Остается участок

282

но

i = j S, j = q n v i = q n v S i dl = q n v S dl = q n v V.

Здесь j – плотность тока, S – сечение малого отрезка провода, n – концентрация частиц (n = N/dV N = n dV), v – скорость перемещения частиц, qe – элементарный заряд, V (dV) – объем (элементарный объем), N – полное число частиц. Подставим полученное выражение в исходную формулу и положим N = 1.

B = (µ0/4π) N qe v Sinα/r2.

Векторная форма образуется по свойству векторного произведения

B = (µ0/4π) qe(v r)/ r3.

§ 9 Сила Лоренца

Рассмотрим силу, действующую на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях.

а. Электрическое поле. Из определения электрического поля имеем

FE = q E

б. Магнитное поле. Воспользуемся формулой силы Ампера

F = i(l B), F = i l B Sinα, i l = j S l = q n v V = q v N

(i = j S, j = q n v, n V = N = 1).

F = q v B Sinα, FB = q(v B)

B^l = 0 v= 0

q = 0 F = 0

F

284

Объединим силы, действующие на частицу в электрическом и магнитном полях

FЛ = FE + FH = qE + q(v B).

Так называемая сила Лоренца названа по имени физика-теоретика из Нидерландов Лоренца Хендрика Антона (1853-1928).

285

Глава 6 Магнитное поле в веществе

До сих пор мы предполагали, что образующиеся вокруг проводников с токами или вокруг движущихся зарядов (что то же самое) магнитные поля действуют в вакууме. Формулы всех законов записаны для вакуума. Если вместо вакуума окажется какая-либо среда (как это обычно бывает на практике), то запись законов несколько изменится. Опыт показывает, что магнитные поля в различных средах могут как усиливаться так и ослабевать. Чтобы приблизиться к пониманию такого поведения, необходимо обратиться к ряду экспериментальных данных и теоретических расчетов, в частности, на уровне электронных оболочек атомов.

§ 1 Магнитный момент и намагниченность

Для описания магнитных явлений необходимо ввести некоторые понятия. Широко распространены в природе замкнутые токи. К ним относятся движущиеся электроны атомных оболочек. Их называют элементарными токами (заряд элементарен, контур мал). Рассмотрим такой элементарный ток и рассчитаем магнитную индукцию на оси, проходящей через центр круга, ограниченного таким контуром и перпендикулярной данному кругу.

286

Здесь необходимо проинтегрировать (просуммировать в пределе) проекции векторов dB′ на ось в формуле Био-Савара-Лапласа.

dB/dB′ = R/r, dB′ = (µ0/4π) i dl r Sin (dl^r) /r 3.

dB = dB′ R/r = (µ0/4π) i l dl/r3.

Интегрирование проводиться по длине контура, что и дает в результате его длину

B = µ0 i π R2/ 2π r3.

Введем понятие магнитного момента контура с током

pm = iS, pm = i S, S = S n, [pm] = А м2

B = µ0 i S / 2π r3 = µ0 pm /2π r3.

Вектором магнитного момента p m контура с током называется произведение величины тока, текущего по контуру на величину площадки, обтекаемого током контура с направлением перпендикулярно плоскости контура и определяемым по правилу правого винта.

Для объяснения намагничения тел (то есть возникновения в среде внутреннего магнитного поля) Ампер и предположил, что в молекулах веществ циркулируют некие круговые токи (молекулярные токи) . Каждый такой ток обладает магнитным моментом и может создавать в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты среды направлены хаотически (по случайному закону). При действии внешнего магнитного поля, а иногда и спонтанно (в природных магнитах) магнитные моменты могут приобретать преимущественную ориентацию, тогда суммарный магнитный момент среды отличен от нуля.

Вещества с отличным от нуля суммарным магнитным моментом характеризуются магнитным моментом единицы объема, тогда (pm – магнитный момент одной молекулы),

287

Σ pm – магнитный момент всех молекул, содержащихся в объеме

∆V

∆V. J = Σ pm / ∆V - намагниченность

∆V

Объем ∆V мал с точки зрения макроскопики, но содержит очень большое число микроскопических токов. Определение. Вектором намагниченности называется отношение суммы векторов магнитных моментов отдельных молекул, содержащихся в малом объеме ∆V к величине этого объема.

Таким образом, магнитное поле в веществе (среде) равно сумме внешнего, приложенного к веществу поля, и внутреннего, образующегося при приложении внешнего

B = Bвнешн + Bвнутр .

§ 2 Напряженность магнитного поля

Для описания магнитного поля наряду с магнитной индукцией используется и другая физическая величина. По определению для вакуума (в системе единиц СИ)

H = B/µ0 B = µ0 H, [H] = Тл м/Гн = Вб/Гн м = А/м.

Закон Био-Савара-Лапласа при этом можно записать как

dH = i (dl r)/ 4π r3.

Для поля, создаваемого круговым током

H = pm/ 2π r3.

H называется напряженностью магнитного поля. Сравним размерности H и J - они одинаковы. Можно показать, что

B = Bвнеш + Bвнутр = µ0 H + µ0 J.

288