Мальханов - Общая Физика
.pdf
Рассмотрим только тот ток, который ведет к убыли заряда, тогда
i = - dq/dt, q = ∫ ρ dV, i = ∫ j dS, - d/dt =
∫ j dS V S S
- d/dt ∫ ρ dV = 
∫ j dS V S
Согласно формуле Остроградского-Гаусса заменим интегрирование по замкнутой поверхности интегрированием по объему, заключенному внутри этой поверхности
∫ j dS = ∫ div j dV ∫ div j dV = - d (∫ ρ dV)/dt S V V V
∫ ( div j + dρ/dt) dV = 0 V
Ввиду произвольности объема, ограниченного произвольно выбранной поверхностью в проводящей среде имеем
div j + dρ/dt = 0.
Эта формула выражает так называемое условие непрерывности или закон сохранения заряда при протекании тока. Определение.
Убыль заряда со временем из замкнутого объема равна дивергенции плотности тока, выходящего через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.
271
Глава 5 Магнитное поле (вакуум)
§1 Магнитная индукция – характеристика магнитного поля
Вэлектростатике заряды были неподвижны и рассматривалось электростатическое поле неподвижных электрических зарядов. Исключение составлял постоянный электрический ток, однако, мы не рассматривали изменений в среде вокруг проводников с токами (этим мы займемся здесь и сейчас) и уравнение непрерывности, где надо было связать заряды и токи. В уравнении непрерывности изменение плотности зарядов со временем можно было рассматривать очень медленным, квазистатическим процессом, хотя в принципе оно справедливо при перемещении зарядов с любой скоростью. Рассмотрим взаимодействие проводников с токами. Из опыта следует.
I1 |
|
I2 |
|
I1 |
I2 |
|
|||||
|
|
Ампер ( Андре Мари, французский математик, физик, химик, 1775-1836гг) установил, что провода взаимодействуют с силой F в том случае, если по ним течет электрический ток, причем
F Ι1 Ι2 / r.
272
Определим направление B . Опыт показывает, что |
dF, B и dl взаимно перпен- |
|
дикулярны, причем dl |
совпадает по направлению с током в данной точке, а dF |
|
приложена к середине |
dl . Заметим, что длина dl |
выбирается много меньше |
расстояния, на котором в данном опыте изучается действие тока, неоднородностью поля в данном опыте можно пренебречь. Для такой тройки векторов определено векторное произведение, так что
B |
F ~ (dl B) |
B |
|
dF |
dl |
i |
dl |
от нас |
|
|
|
|
d F |
к нам |
В системе единиц СИ закон Ампера запишется в виде
dF = i (dl Β).
Если поворачивать dl к B , то dF направлено по правилу правого винта. Для B справедлив принцип суперпозиции
B = Σ Bi
Результирующий вектор магнитной индукции данной точки пространства равен сумме векторов магнитной индукции, вызываемых каждым источником магнитного поля в отдельности в этой точке.
§ 2. Формула Био-Савара-Лапласа
Эта формула получена экспериментально. Рассмотрим произвольный проводник с током и поставим задачу: найти магнитную индукцию, создаваемую элементом dl с током i этого проводника в окружающем пространстве.
274
dl |
r |
C dB |
i |
A dB dB ~ i dl f(α)/r2 |
Экспериментально установлено, что магнитная индукция пропорциональна силе тока в проводнике, длине проводника и обратно пропорциональна расстоянию между проводником (в данном случае элементом длины dl ) и искомой точкой, в которой рассчитывается индукция магнитного поля. Направление dB является функцией угла для элемента с током. Чтобы записать точный закон, необходимо учесть систему единиц и взаимное направление векторов dl, r, dB. По аналоги с законом Ампера воспользуемся векторным произведением
dB ~ (dl r).
Начала векторов можно совмещать параллельным переносом и так по правилу векторного произведения определить направление вектора dB.
C |
|
A |
|
dl |
dl |
r |
|
r |
r |
dl |
r |
dB |
|
dB |
|
|
|
|
Запишем в системе единиц «СИ» dB = (µ/4π)i dl r/r3, r/r (er) – орт.
275
dl/ r dα = 1/Sin α dl = r dα / Sin α , r0/r = Sin α r = r0/ Sin α
dl = r dα / Sin α = r0 dα /(Sin α)2.
Таким образом переменная интегрирования свелась к углу α . Проведем интегрирование по углу α (как суммирование в пределе вклада от каждого элемента dl в индукцию магнитного поля в искомой точке). Для этого подставим в формулу Био-Савара-Лапласа значения для всех изменяющихся величин выразив их через угол α .
dB = (µ0 /4π ) I Sin α dα/ r0.
α2 |
α2 |
B = µ0 I /4πr0∫ Sin α dα = (µ0I/4πr0) (- Cos α)| = |
|
α1 |
α1 |
= (µ0I /4πr0)( Cos α1 – Cos α2).
Рассмотрим предельный случай бесконечного прямого провода
α1 = 0, α2 = π B = µ0 I / 2π r0.
Отступление. Французские физики Био Жан Батист (1774-1812), Савар Феликс (1791-1841) и наиболее известный из них Лаплас Пьер Симон (1749-1827) занимались исследованиями в сфере магнетизма. Лаплас известен также как астроном и математик. Ему принадлежат приоритеты введения понятий удельной теплоемкости, потенциальной функции, а также небесная теория возникновения планет с жидким ядром.
§ 4 Соленоидальный (вихревой) характер магнитного поля
Под линиями индукции магнитного поля мы будем понимать воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке такой линии направлены также как и вектора магнитной индукции. На примере прямого провода с током
277
В интеграле появился кружок, означающий интегрирование по замкнутой поверхности. Поток вектора магнитной индукции для любой замкнутой поверхности, построенной в магнитном поле равен 0 , так как внутри такой поверхности нет магнитных зарядов и внутри нее не зарождаются линии магнитной индукции, подобно тому как это происходит с электрическими зарядами.
E dS = En dS
Тогда
∫ B dS = 0 (ФB = 0) S
Согласно формуле Остроградского-Гаусса
∫ B dS = ∫ div B dV = 0. S V
Поскольку поверхность выбиралась произвольно, то и объем, ограниченный этой поверхностью, тоже произвольный и следовательно
div B = 0.
Эта формула отражает факт соленоидальности магнитного поля.
279