![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
6. Многочлены над полем комплексных чисел .
Теорема 14. 2.(Основная теорема
алгебры многочленов). Всякий многочленимеет корень в поле
.
Следствия. 1) Многочленимеет в
ровно
корней с учётом их кратности. 2) Над полем
неприводимы только многочлены первой
степени. 3) Если
все корни многочлена
,
то
.
Теорема 15.2.(Формулы Виета). Пустьи
- все его корни с учётом их кратности.
Тогда справедливы равенства:
7. Многочлены над полем действительных чисел.
Напомним, что если комплексное число
имеет вид
,
то сопряжённое имеет вид
.
При этом выполняются следующие свойства:
;
;
;
;
.
Теорема 16.2.(О комплексных корнях
многочлена с действительными
коэффициентами). 1) Еслии
- корень
,
то
тоже корень
,
т.е.
.
2) Если
,
то
имеет чётное количество комплексных
недействительных корней.
Следствие. Любой многочлен нечётной
степени с действительными коэффициентами
имеет хотя бы один действительный
корень, а значит, приводим над полемдействительных чисел.
Теорема 17.2.(О неприводимых
многочленах над полем).
Над полем действительных чисел
неприводимы только многочлены первой
степени или многочлены
второй степени, для которых существуют
и такие, что
.
Следствие.Легко получить, что
многочлен второй степени с действительными
коэффициентами неприводим над полем
действительных чиселтогда и только тогда, когда его дискриминант
отрицателен (
).
8. Многочлены над полем рациональных чисел .
Неприводимые многочлены над
.
Теорема 18.2.(Критерий Эйзенштейна).
Если для многочленас
целыми коэффициентами (
)
такими, что
существует простое число
с условиями: 1)
не делится на
;
2)
⋮
и 3)
не делится на
,
то
неприводим над полем рациональных чисел
.
Замечание. Критерий Эйзенштейна не является критерием в полном смысле этого слова, так как теорема обратной силы не имеет.
Следствие.Над полем рациональных
чиселсуществуют неприводимые многочлены
любой степени
.
В качестве примеров таких многочленов
можно взять многочлены вида
,
которые удовлетворяют всем требованиям
критерия Эйзенштейна (
).
Заметим, что критерий Эйзенштейна
применим не ко всем неприводимым над
полем
многочленам. В некоторых случаях помогает
Теорема 19.2.Еслимногочлен с рациональными коэффициентами
и
,
где
,
то
неприводим над
тогда и только тогда, когда многочлен
неприводим над
.
Пример 20. 1) К многочленукритерий Эйзенштейна применим напрямую
(достаточно взять
).
Значит,
неприводим.
Пусть
. К этому многочлену критерий Эйзенштейна напрямую применить невозможно. Разложим
по степеням
, подбирая многочлен
, к которому можно применить критерий Эйзенштейна. Вообще говоря, нужно последовательно перебирать значения
, пока не натолкнёмся на подходящее. Мы же сразу возьмём
и разложим
по степеням
с применением алгоритма, следующего из схемы Горнера.
|
3 |
-14 |
12 |
9 |
28 |
2 |
3 |
-8 |
-4 |
1 |
30 |
2 |
3 |
-2 |
-8 |
-15 |
|
2 |
3 |
4 |
0 |
|
|
2 |
3 |
10 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
Таким образом,
,
где
неприводим над полем
(достаточно для применения критерия
Эйзенштейна взять
).
Значит, по теореме 19.2 и многочлен
неприводим над полем
.