2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.

Определение.Целое числоDназывается общим делителем (ОД) целых чиселaиb, если каждое из этих чисел делится наD.

Целое число dназывается наибольшим общим делителем целых чиселaиb, если 1)d- ОД этих чисел; 2)dделится на любой ОД чиселaиb.

Обозначение.Натуральный НОД целых чиселaиbобозначим через (a,b).

Теорема 3.1(Об определяющих свойствах НОД). Пусть- целые числа. Тогда 1)Если НОД двух целых чисел существует, то он определён с точностью до знака.

2)Если a⋮bиb>0, то(a,b)=b. Еслиa⋮bиb≠0, то(a,b)=|b|.

3)Если a=b∙c+dиa,b,c,d – целые числа, b≠0, то (a,b)=(b,d).

4)Если хотя бы одно из целых чисел aилиbне равно0, то их НОД существует.

Замечания.1) Параимеет единственный наибольший общий делитель целое число 0, удовлетворяющее всем свойствам НОД. 2) В школьном курсе математики понятие НОД обычно рассматривается только для натуральных чисел.

Алгоритм Евклидаили метод последовательного деления с остатком. Пустьaиb–ненулевые целые числа. Делимaнаbс остаткомr₁. Еслиr₁≠0, то делимbс остаткомr₂наr₁. Еслиr₂≠0, то делимr₁наr₂с остаткомr₃и т.д. до тех пор, пока очередной остатокr_n+1не станет равным нулю:

a=b∙q₀+r₁, гдеq₀,r₁- целые числа и0<r₁<|b|,

b=r₁∙q₁+r₂, где q₁, r₂ -целые числа и 0<r₂<r₁,

………………

r_n-2=r_n-1∙q_n-1+r_n, где q_n-1, r_n -целые числа и 0<r_n<r_n-1,

r_n-1=r_n∙q_n+0, где q_n -целое число.

Теорема 4.1.Последний ненулевой остаток в алгоритме Евклида для целых ненулевых чиселaиbравен их наибольшему натуральному делителю (a,b).

Следствие.Для любых целых чиселaиb существуют целые числаxиyтакие, что a∙x+b∙y=(a,b)(линейное выражение наибольшего общего делителя двух целых чисел через эти числа).

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чиселa=1134 иb=768 и линейное выражение их НОД.

Применим к числам 1134 и 768 алгоритм Евклида.

1134=768∙1+366: a=b∙q₀+r₁; q₀=1, r₁=366.

768=366∙2+36: b=r₁∙q₁+r₂; q₁=2, r₂=36.

366=36∙10+6: r₁=r₂∙q₂+r₃; q₂=10, r₃=6.

36=6∙6+0: r₂=r₃∙q₃+0; q₃=6, r₄=0.

Итак, r₄=0, а т.к. r₃=6≠0, то(1134,768)=(a,b)=6.

Теперь из предпоследнего равенства выражаем r₃: r₃=r₁-r₂∙q₂ или r₃=r₁-r₂∙10. Далее из следующего вверх равенства выражаем r₂, подставляем в полученное ранее равенство и т.д.: r₃=r₁-r₂∙10=r₁-(b-r₁∙2)∙10=21∙r₁-10∙b=21∙(a-b∙1)-10∙b=21∙a+(-31)∙b. (a,b)=6=21∙a+(-31)∙b.

4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).

Определение. Целые числаaиbназываются взаимно простыми, если их наибольший общий натуральный делитель равен 1: (a,b)=1.

Теорема 5.1. (Основные свойства взаимной простоты).

1)(Критерий взаимной простоты) Целые числаaиbвзаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числаxиyтакие, чтоax+by=1.

2)Если (a,b)=1,k-натуральное число, то (ak,bk)=k.

3)Если (a,b)=1иc⋮a,c⋮b, то c⋮a∙b,.

4)Произведение целых чисел, каждое из которых взаимно просто с одним и тем же целым числом, также взаимно просто с этим числом: (a,c)=1, (b,c)=1,(ab,c)=1.

5)Если (a,b)=1,то для любых натуральных чиселmиn: (aⁿ,b^m)=1.

6)Если (a,b)=k, то числаивзаимно просты: (,)=1.

Замечание. В свойстве 3) условие (a,b)=1обязательно. Например,24⋮8, 24⋮6, но24не делится на48=8∙6.

Определение.Целое числоMназываетсяобщим кратнымцелых чиселaиb, если каждое из них делит числоM:M⋮a, M⋮b.

Обозначение. M – ОК(a,b).

Определение. Целое числоmназываетсянаименьшим общим кратнымцелых чиселaиb, если 1)m – ОК(a,b); 2)mделится на любое ОК(a,b).

Обозначение.Натуральное наименьшее общее кратное целых чиселaиbобозначается[a,b].

Замечание.У пары целых чисели, где, НОК – целые числа. У нулевой пары целых чисел НОК не существует.

Теорема 6.1. (О свойствах НОК).

1)Для любых натуральных чисел aиbНОК существует, причём определено с точностью до знака.

2)Если aиb- натуральные числа, то [a,b]=.

3)Если aиb- ненулевые целые числа, то [a,b]=.

4)[a,b]-наименьшее по величине положительное ОК(a,b).

5)Если a⋮kиb⋮k,то [,]=∙[a,b].