![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
7. Целые систематические числа.
Для записи натуральных чисел применяются различные способы, среди которых выделяются две основные группы: непозиционныеипозиционныесистемы счисления.
В настоящее время из непозиционных систем счисления некоторое значение сохранила только римская нумерация.
В позиционных системах счисления, в отличие от непозиционных, значения применяемых символов зависят от места, которое этот символ занимает в записи числа. Чаще всего применяются системы счисления с фиксированным основанием.
Определение.Систематической
записьюнатурального числапо основанию
(
-натуральное
и большее 1) называют представление
этого числа в виде суммы
,
где
- числа, принимающие одно из значений
;
,
- целое неотрицательное. При этом, если
числа
обозначены специальными символами, то
эти символы называютсяцифрами
–ичной
системы счисленияи число
записывается в виде
.
Пример 7.
=2345=(2345)10=2∙103+3∙102+4∙10+5.
=(1021)3=1∙33+0∙32+2∙3+1=27+0+6+1=34.
Теорема 13.1.Всякое
натуральное числоможет быть единственным образом
представлено в виде систематической
записи по любому основанию
.
Если
то цифры
–ичной
системы счисления обозначают обычно
так же, как и в десятичной: 0, 1, …,
.
Если
,
то к первым десяти цифрам добавляют
недостающие, обозначив их какими-либо
значками.
Арифметические действия сложения,
вычитания, умножения и деления (деления
с остатком) осуществляются по тем же
алгоритмам, что и в десятичной системе
счисления: столбиком. Требуется только
составить соответствующие таблицы
сложения и умножения. Например, для
таблицы сложения и умножения имеют
следующий вид:
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
10 |
2 |
2 |
3 |
10 |
11 |
3 |
3 |
10 |
11 |
12 |
∙ |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
2 |
10 |
12 |
3 |
0 |
3 |
12 |
21 |
Заметим, что в первой таблице можно исключить первую строку и первый столбец, а во второй – первые две строки и первые два столбца.
Пример 8.
Для перевода натурального числа
из
- ичной системы счисления в
- ичную достаточно научиться переводить
числа из
- ичной системы счисления в десятичную
и обратно. Алгоритм перевода состоит
из двух этапов.
Пусть
.
Для перевода этого числа в десятичную
систему счисления достаточно записать
его в виде
;
записать цифры числа
в десятичной системе счисления (т.е.
числа
)
и выполнить указанные действия.
Пусть
. Переведём это число в
- ичную систему счисления, т.е. представим его в виде
.
Для этого необходимо найти коэффициенты
,
каждый из которых является цифрой от
до
.
Разделим
на
с остатком:
,
где
- целые числа и
.
Тогда
,
ибо
делится на
.
Далее делим
с остатком на
:
.
Тогда
.
Ясно, что
.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока
не получим неполное частное
,
которое будет нулевым. Таким образом,
мы найдём все цифры
записи числа
в
- ичной системе счисления.
Пример 9.1)представить в десятичной системе
счисления.
2) Перевести число
в семеричную систему счисления.
Имеем:
2975=7∙425+0,
425=7∙60+5,
60=7∙8+4,
8=7∙1+1,
1=7∙0+1,Так как
,
то процесс закончен и 2975=