![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
Теорема 18.1.Уравнение,
где
-
целые числа, разрешимо в целых числах
тогда и только тогда, когда
делится на наибольший общий делитель
целых чисел
.
При этом, если пара
-
целое решение уравнения (∗),
то все его целые решения получаются по
формулам:
,
где
-
произвольное целое число.
Следствие.Если в уравнении (∗)
числавзаимно просты (
),
то все целые решения этого уравнения
находятся по формулам:
,
где
-
произвольное целое число.
Пример 12.Группа учащихся отправилась в театр, причём часть из них отправилась на автобусе с ценой билета 17 рублей, а вторая - на маршрутке с ценой билета 23 рубля. Всего за проезд в театр заплатили 455 рублей. Сколько учащихся было в этой группе?
Обозначим через
количество учащихся, поехавших на
маршрутке, а через
-
на автобусе. Требуется решить уравнение
(∗)
в неотрицательных целых числах (количество
учащихся не может быть отрицательным).
Заметим, что (23,17)=1.
Замечание.Если бы НОД(23,17) не равнялся
1, то обе части уравнения нужно было бы
сократить на этот НОД. Число 455 не делится
на 23 и на 17, поэтому решенияне могут быть нулевыми, а значит, только
натуральными.
Решим уравнение в целых числах. Уравнение
(∗) разрешимо в
целых числах. Но вначале найдём хотя бы
одно целое решение уравнения (∗∗).
Воспользуемся алгоритмом линейного
выражения (23,17) из пункта 3:
23=17∙1+6;.
17=6∙2+5;.
6=5∙1+1;.
5=1∙5+0;.
1==(23,17)=
.
Значит, 23∙3+17∙(-4)=1,
т.е.-
целые решения уравнения (∗∗).
Помножим обе части полученного равенства
на 455:
23∙(3∙455)+17∙((-4)∙455)=1∙455, т.е. 23∙1365+17∙(-1820)=455.
Тогда пара (1365;-1820)-целое решение уравнения (∗). Теперь из полученного целого решения уравнения (∗) найдём все его натуральные решения, если они существуют.
Для этого в последнем равенстве в левой
его части будем из первого слагаемого
перекидывать положительные числа во
второе, но так, чтобы: 1) множители при
числе 23 в первом слагаемом оставались
положительными; 2) множители при числе
17 во втором слагаемом стали положительными;
3) перекидываемые числа должны быть
кратны 17. Например, из первого слагаемого
во второе можно перекидывать числа
23∙17, 23∙(2∙17),
23∙(3∙17)
и т.д. Чтобы множитель при числе 17 во
втором слагаемом сделать первый раз
положительным, нужно взять минимальное
натуральное числотакое, что
.
Тогда
.
Получаем:
23∙1365+17∙(-1820)=45523∙(1365-17∙80)+23∙17∙80+17∙(-1820)=455
23∙5+17∙(23∙80-1820)=455
23∙5+17∙20=455.
Заметим, что из первого слагаемого во
второе уже нельзя перекидывать числа,
для которых выполняются все три условия
выше. Поэтому равенство 23∙5+17∙20=455
единственное с натуральными сомножителями
при числах 23 и 17. Значит, уравнение
имеет единственное натуральное решение
и
- количество учащихся в группе, поехавшей
в театр.
11. Признаки делимости.
Определение.Критерий, устанавливающий
необходимые и достаточные условия
делимости произвольного натурального
числана данное натуральное число
,
называетсяпризнаком делимости на
.
Различают общие признаки, имеющие силу
для любого
,
и частные – для отдельных значений
.
Признак делимости выражается правилом,
посредством которого по цифрам данного
числа
,
записанного в системе счисления по
основанию
,
можно судить о делимости его на число
.
Теорема 19.1.(Общий признак
делимости Паскаля). Для того, чтобы
натуральное число,
записанное в произвольной
-ичной
системе счисления в виде
,
делилось на натуральное число
,
необходимо и достаточно, чтобы число
делилось на
,
где
- цифры числа
,
записанного в
-ичной
системе счисления,
- остатки от деления
на
.
Частные признаки делимости.
Если
- делитель числа
, то для того, чтобы число, записанное в
-ичной системе счисления, делилось на
необходимо и достаточно, чтобы на
делилась сумма его цифр.
Следствие.Натуральное число,
записанное в десятичной системе
счисления, делится на 3 (или на 9) тогда
и только тогда, когда на 3 (на 9) делится
сумма его цифр.
Если
- делитель числа
, то для того, чтобы число, записанное в
-ичной системе счисления, делилось на
необходимо и достаточно, чтобы на
делилась разность между суммами цифр этого числа, стоящих на чётных и нечётных местах.
Следствие.Натуральное число,
записанное в десятичной системе
счисления, делится на 11 тогда и только
тогда, когда разность между суммами
цифр, стоящих на чётных и нечётных местах
в числе
,
делится на 11.
Если
- делитель числа
, то для того, чтобы число
, записанное в
-ичной системе счисления, делилось на
необходимо и достаточно, чтобы на
делилось число, записанное последними цифрами числа
(взятыми в том же порядке).
Следствие.Натуральное число,
записанное в десятичной системе
счисления, делится на 2 (или на 5; на 10; на
4; на 25 и т.д.) тогда и только тогда, когда
на 2 (на 5; на 10; на 4; на 25 и т.д.) делится
последняя цифра числа
(последняя цифра; последняя цифра; число,
записанное двумя последними цифрами и
т.д.).
Натуральное число
, записанное в десятичной системе счисления, делится на 7 (или на 11; или на 13) тогда и только тогда, когда на 7 (на 11; на 13) делится разность между числом, записанным тремя последними цифрами числа
, и числом, записанным остальными цифрами (или наоборот).
Пример 13. Вывести признак делимости
на 84 в десятичной системе счисления и
выяснить, будет ли число=465252384
делиться на 84.
Заметим, чтоПо предыдущему (частные признаки
делимости в десятичной системе счисления)
получаем признак делимости на 84 в
десятичной системе счисления: число
делится на 84 тогда и только тогда, когда
число, записанное двумя последними
цифрами числа
делится на 4; сумма цифр числа
делится на 3 и разность между числом,
записанным последними тремя цифрами
числа
и остальными его цифрами делится на 7.
Проверим, будет ли заданное число
делиться на 84. Заметим, что первое условие
признака делимости на 84 выполняется:
84⋮4. Сумма цифр
числав нашем случае равна 39=4+6+5+2+5+2+3+8+4 - делится
на 3. В условии 3 лучше взять разность
наоборот: 465252-384=464868. Применим ещё раз
данную процедуру: 868-464=404 не делится на
7, т.к. 404=7∙57+5.
Поэтому условие 3 признака делимости
на 84 не выполняется и число
=465252384
не делится на 84.