![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
Определение.Конечной–ичной
систематической дробью называется
число (
)
,
где
–целое
систематическое число,
-целые
числа такие, что
.
Для записи дроби
,
где
- натуральные числа, в виде
–ичной
систематической дроби, достаточно
научиться делать это для правильных
обыкновенных дробей. В этом случае
и
.
Теорема 14.1.Правильная несократимая
дробьможет быть представлена в виде (
)
тогда и только тогда, когда в разложение
знаменателя
на простые множители входят только те
простые числа, которые входят и в
разложение на простые множители основания
.
Следствие.Несократимая дробьможет быть представлена в виде конечной
десятичной дроби тогда и только тогда,
когда в разложение знаменателя
на простые множители входят лишь числа
2 и 5, т.е.
,
где
-
целые неотрицательные числа.
Пример 10.Представьте дробьв виде конечной двенадцатеричной
систематической дроби.
Так как
,
а
,
то дробь
представима в требуемом виде. Тогда
Здесь
- максимальный из показателей чисел 2 и
3 в каноническом представлении числа
24 (знаменателя дроби). Но
.
Значит,
.
Аналогичный приём представления дроби
в виде конечной систематической дроби
по любому основанию
применим во всех случаях, когда знаменатель
дроби
удовлетворяет условию теоремы 14.1.
Определение.Правильной бесконечной–ичной
дробью называется ряд (
)
,
где
–целые
числа такие, что
для всех
Замечание.Так как для любоговерно неравенство
,
а ряд
сходится как геометрическая прогрессия
со знаменателем
,
то ряд (
)
сходится, т.е. существует единственное
действительное числоαтакое, что
Теорема 15.1.Если рациональное
числонельзя представить в виде конечной
-ичной
дроби (
),
то число
единственным образом представляется
в виде правильной бесконечной
-ичной
дроби (
).
Определение.Бесконечная правильная
систематическая дробь по основаниювида
называется чисто периодической с
периодом длины
,
если для всех натуральных
выполняется равенство
,
причём
-
наименьшее натуральное число с таким
свойством (т.е. если
,
то обязательно найдётся натуральное
число
такое, что
).
Определение.Бесконечная правильная
систематическая дробь по основаниювида
называется смешанной периодической с
периодом длины
и предпериодом длины
,
если для всех натуральных
выполняется равенство
,
причём
-
наименьшие натуральные числа с таким
свойством.
Обозначение. Чисто периодическую
дробь с периодом длиныбудем записывать в виде
,
а смешанную периодическую дробь -
.
Теорема 16.1.Если знаменатель
правильной несократимой дробивзаимно прост с основанием системы
счисления
,
то дробь
представима в виде чисто периодической
-ичной
дроби, период
которой является наименьшим натуральным
числом таким, что
⋮
.
Следствие.Правильная несократимая
дробьможет быть представлена в виде чисто
периодической десятичной дроби тогда
и только тогда, когда
.
При этом длина периода
-
это наименьшее натуральное число такое,
что
⋮
.
Теорема 17.1.Если-
каноническое представление числа
,
причём
делится на
,
но не делится ни на одно из
,
то правильная несократимая дробь
может быть представлена в виде
=
-
смешанной периодической дроби, причём
длина предпериода
равна наибольшему из показателей
(
,
а длина периода
-наименьшее
натуральное число такое, что
⋮
,
где
.
Пример 11.В виде каких десятичных
дробей представимы дроби 1)2)
3)
1) Так как
,
а 10=2∙5, то дробь
представима в виде конечной десятичной
дроби:
2) Так как (10,17)=1, то дробь
представима в виде чисто периодической
десятичной дроби. Прямым вычислением
находим, что
не делится на 17 при всех натуральных
,
а
⋮17.
Значит, длина периода
3) Так как
и 10⋮2; 5, но (10,17)=1,
то дробь
представима в виде смешанной периодической
десятичной дроби с длиной периода
(предыдущее задание) и длиной предпериода
9. Решение уравнения (∗)
в целых числах.
Заметим, что из теоремы 11.1 легко следует,
что для любых целых чисел
верны следующие утверждения. 1) Если
⋮
,
то
⋮
.
2) Если
,
и
,
то
- полные квадраты, т.е. такие числа, для
которых существуют целые числа
:
.
Далее, если
и
-
целые решения уравнения (∗),
то
⋮
.
Поэтому достаточно рассмотреть только
случай
.
Более того, числа
не могут быть оба нечётными. Действительно,
если
,
где
,
то
Но тогда правая часть равенства, а
значит, и левая, делится на 2, но не делится
на 4. В этом случае сумма
не может быть полным квадратом.
Рассмотрим случай, когда
-
чётное целое число,
-
нечётное (второй случай аналогичен
рассматриваемому). Тогда
-
нечётное число и
,
где оба множителя справа являются
нечётными целыми числами. Пусть
.
Тогда
,
где
-
взаимно простые нечётные целые числа
и, выражая
из предыдущих равенств, получим:
.
Кроме того,
,
а значит,
⋮
,
⋮
,
что по условиям выше влечёт равенство
.
Поэтому
.
Но тогда
-
полные квадраты,
,
где по предыдущему
-
нечётные взаимно простые целые числа.
Таким образом, все определяющие (взаимно
простые) целые решения уравнения
имеют вид:
,
где
– нечётные взаимно простые целые числа.