![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
Решение квадратных уравнений. Теорема Виета.
Теорема 1.2.Уравнение,
и
имеет два действительных корня, которые
находятся по формулам
.
Теорема 2.2(Теорема Виета). Если-
корни уравнения (∗),
то
.
Следствие. Корни приведённого
квадратного уравненияпри условии
находятся по формулам
и теорема Виета для корней этого
уравнения:
.
Теорема 3.2.(Обратная теорема
Виета). Если,
то
- корни квадратного уравнения
.
Следствие. Если-
корни уравнения
,
то
.
Пример 14.1) Найдите приведённое
квадратное уравнение с корнями.
Так как
,
то по теореме, обратной теореме Виета,
- корни приведённого квадратного
уравнения
.
2) При каких значениях параметра
оба корня уравнения
положительны?
Для существования действительных корней
уравнения требуется выполнение условия
.
Итак,
.
Числа
одного знака, если
,
а оба положительны, если
Но по теореме Виета
.
Поэтому оба корня уравнения (1) положительны,
если
Решение уравнений третьей и четвёртой степени в радикалах.
Алгоритм решения уравнений третьей степени в радикалах.
1. Уравнение третьей степени
делением обеих частей на
приводим к равносильному уравнению
.
2. Заменой
приводим к уравнению
.
3. Вычисляем
-
дискриминант кубического уравнения.
4. Находим один из корней уравнения
,
вообще говоря, с комплексными коэффициентами
(если
,
то берём любой комплексный квадратный
корень из
),
и число
.
При этом, если
,
то и
,
и в пункте 2 уравнение принимает вид
,
решение которого очевидно.
5. Если
,
то находим корни уравнения
:
,
где
- комплексные недействительные корни
кубические из единицы.
6. Находим корни исходного уравнения
.
Теорема 4.2. (О множестве всех
решений кубического уравнения с
действительными коэффициентами). Пусть-
дискриминант кубического уравнения
(1)
.
Тогда
1) если
,
то уравнение (1) имеет один действительный
и два недействительных комплексных
сопряжённых корня;
2) если
,
то все три корня уравнения (1) действительные
и хотя бы два из них совпадают;
3) если
,
то все три корня уравнения (1) действительные
и различные.
Пример 15.Решить уравнениеметодом Кардано.
Так как исходное уравнение является
приведённым, то сразу делаем замену
:
.
Итак,
.
Тогда
.
Значит, по теореме 4.2 уравнение имеет
один действительный и два недействительных
комплексных сопряжённых корня. Находим
один из корней уравнения
или
.
Возьмём
.
Тогда
.
Поэтому
,
,
.
Находим корни исходного уравнения по
формулам:
.
Итак,
.
Алгоритм решения уравнений четвёртой степени в радикалах.
1. Уравнение четвёртой степени
делением обеих частей на
приводим к равносильному уравнению
.
2. Заменой
приводим к уравнению (2)
.
3.Находим
-
один из корней кубического уравнения
.
4. Все корни уравнения (2) находим, как
корни совокупности уравнений
где
-
один из комплексных квадратных корней
из комплексного числа
,
а
- другой корень.
5. Находим корни исходного уравнения по
формулам:
.
Уравнения третьей и четвёртой степени в общем виде (т.е. с выводом формул, выражающих корни уравнения через его коэффициенты в радикалах) были решены в начале и середине 16 века итальянскими математиками дель Ферро, Никколо Тарталья, Джироламо Кардано и Луиджи Феррари. И только в начале 19 века норвежский математик Нильс Хенрик Абель, опираясь на труды многочисленных предшественников, в частности, Гаусса и Лагранжа, доказал, что невозможно корни уравнений пятой и выше степени выразить через коэффициенты соответствующего уравнения в радикалах. А полностью задачу о разрешимости уравнений в радикалах решил француз Эварист Галуа. И так как уравнения пятой и выше степени не имеют решения в общем виде, то пришлось искать другие приёмы их решения, вылившиеся в теорию многочленов.
Многочлены. Основные понятия и свойства. Делимость. Теорема Безу.
Определения и обозначения. Ненулевой
многочлен с коэффициентами из некоторого
полязаписывается в канонической форме (или
в каноническом виде) как выражение
,
где
- неотрицательное целое число. При этом
число
называетсястепенью многочлена
.
-старший коэффициент,
- свободный член многочлена
.
Степенью нулевого многочленаназывается символ
.
Степень многочлена
обозначается
.
Множество всех многочленов с коэффициентами
из поля
обозначается как
.
Теорема 5.2.(О свойствах степени).
Для любых многочленовс коэффициентами из поля
выполняются свойства:
1)
2)
Определение.Многочленделитсяна многочлен
,
если существует многочлен
такой, что
.
Обозначение.⋮
.
Пример 16.1)⋮
над любым числовым полем. 2)
⋮
над полем комплексных чисел
.
3) Для любого натурального числа
и элемента
выполняются свойства:
⋮
,
в частности,
⋮
;
⋮
.
Теорема 6.2.(Свойства делимости
многочленов). Для любых многочленоввыполняются свойства:
⋮
0⋮
и для любого
:
⋮
.
Если
⋮
и
⋮
, то
⋮
.
Если
и
⋮
, то
.
Если
⋮
и
⋮
, то существует
:
.
Если
⋮
то
⋮
.
Если
⋮
и
⋮
, то
⋮
.
Определение. Многочленыназываютсяассоциированныминад полем
,
если существует
такой, что
.
Обозначение.Ассоциированность над
полеммногочленов
обозначается как
.
Следствия.1) Если,
то множество всех многочленов,
ассоциированных с
над полем
,имеет вид:
,
где
.
2)
⋮
и
⋮
.
Определение.Пустьи элемент
.
Тогда значением многочлена
при
называется выражение (элемент поля
)
.
Теорема 7.2. (Теорема Безу). Пусть.
Тогда существует, причём единственный
многочлен
такой, что
.
Определение. Элементназываетсякорнеммногочлена
,
если
.
Следствие из теоремы Безу.Элементявляется корнем многочлена
тогда и только тогда, когда
⋮
.