4. Деление с остатком в . Схема Горнера.

Определение. Разделить с остатком многочленна ненулевой многочлен- значит найти многочленытакие, что

1) и 2).

При этом многочлен называетсяостатком, а-неполным частным.

Теорема 8.2.(О делении многочленов с остатком в). Для любых многочленовсуществуют, причём единственные многочленытакие, что 1)и 2).

Таким образом, деление с остатком любого многочлена на ненулевой многочлен с коэффициентами из одного и того же поля всегда возможно, причём единственным образом.

Деление с остатком многочленов производится, как и для натуральных чисел, уголком, начиная с верхнего правого угла.

Схема Горнера– это алгоритм деления с остатком многочленана.

Если , то по теореме Безу существует единственный многочлентакой, что. Тогда

получаем следующую систему соотношений:

Замечаем следующую зависимость: получается как суммаи. Заготовкой для вычислений является таблица:

				….

Для того, чтобы заполнить первую слева незаполненную клеточку во второй строке, нужно умножить на элемент, стоящий в предыдущей клеточке второй строки, и результат сложить с элементом, стоящим над вычисляемой клеточкой в первой строке.

Все дальнейшие вычисления производим в таблице:

				….
				….

Пример 17. Разделить с остаткомна.

В данном случае . Заполняем заготовку:

	7	-3	0	2	-5	1
-2	7

Далее производим вычисления:

	7	-3	0	2	-5	1
-2	7	-17	34	-66	127	-253

Значит, .

В частности, .

Схема Горнера применяется во многих случаях. В частности, при определении кратности корня многочлена.

Определение. Пусть, где. Тогданазываетсякорнем кратности многочлена. Если, тоназываетсяпростымкорнем.

Пример 18.Найти кратность корнямногочлена.

По теореме Безу кратность корня равна количеству деленийнас нулевым остатком. Все вычисления выполняем в одной таблице:

	1	-2	5	-13	14	-5
1	1	-1	4	-9	5	0
1	1	0	4	-5	0
1	1	1	5	0
1	1	2	70

Значит, ⋮, но не делится на. Поэтому кратность корнямногочленаравна 3.

Заметим, что при вычислении значений в третьей и т.д. строках таблицы, требуемые по схеме Горнера числа брали из стоящей выше строки.

5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.

Определение.Многочленназываетсяобщим делителем(ОД) многочленов, если каждый из этих многочленов делится наD.

Многочлен dназывается наибольшим общим делителем многочленов, если 1)d- ОД этих многочленов; 2)dделится на любой ОД многочленов.

Обозначение.Нормированным НОД многочленовназывается такой НОД, старший коэффициент которого равен 1. Обозначим его через (,).

Теорема 9.2(Об определяющих свойствах НОД).

1)Если НОД двух многочленов существует, то он определён с точностью до ассоциированности.

2)Если ⋮инормирован, то(,)=.

3)Если , где- многочлены изи, то.

4)Если хотя бы один из многочленов не равен0, то их НОД существует.

Алгоритм Евклидаили метод последовательного деления с остатком применим и в.Но в случае многочленов модуль (норма в) заменяется на степень (норма в). Пустьи– ненулевые многочлены. Делимнас остаткомr₁. Еслиr₁≠0, то делимс остаткомr₂наr₁. Еслиr₂≠0, то делимr₁наr₂с остаткомr₃и т.д. до тех пор, пока очередной остатокr_n+1не станет равным нулю:

, где,r₁– многочлены изи,

, где, r₂ - – многочлены изи,

………………

r_n-2=r_n-1∙_n-1+r_n, где _n-1, r_n -– многочлены изи,

r_n-1=r_n∙_n+0, где _n –многочлен из.

Теорема 10.2.Последний ненулевой остаток в алгоритме Евклида для ненулевых многочленов равен их наибольшему делителю.

Следствие.Для любых ненулевых многочленовизсуществуюттакие, что(линейное выражение наибольшего общего делителя двух ненулевых многочленов из).

Определение. Многочленыназываютсявзаимно простыми, если, т.е. общими делителями этих многочленов могут быть только ненулевые элементы поля.

Теорема 11.2. (Основные свойства взаимной простоты).

1) Многочлены взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют многочленытакие, что.

2) Если многочлены взаимно простые и⋮, то⋮для любого многочлена.

Определения. Многочленстепени большей или равной 1 называетсяприводимымнад полем, если существуют многочленытакие, что

1) и 2).

Многочлен степени большей или равной 1 называетсянеприводимымнад полем, если его нельзя представить в виде, где 1)и

2) .

Пример 19.1) Многочленприводим над полями. 2) Многочленприводим над полями, но неприводим над полем. 3) Многочленприводим над полем, но неприводим над полями.

Замечания. 1) Многочлены, являющиеся элементами поля(т.е. многочлены нулевой степени и нулевой многочлен), не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. 2) Многочлен первой степени неприводим над любым полем, содержащим его коэффициенты. 3) Многочлен второй степени изприводим над полемтогда и только тогда, когда его корни лежат в поле. 4) Многочлен третьей степени изприводим над полемтогда и только тогда, когда хотя бы один его корень лежит в поле.

Теорема 12. 2. (Свойства неприводимости).

1. Если ,неприводим нади⋮, то либо, либо.

2. Если ,и- неприводим над полем, то либо⋮, либо.

3. Если взаимно прост с многочленами, то он взаимно прост и с их произведением.

4. Если ⋮инеприводим, то либо⋮, либо⋮.

5. Если ⋮, гденеприводимые и неассоциированные между собой, то⋮, т.е. и на их произведение.

Теорема 13.2. Всякий многочленстепени больше или равной 1 либо неприводим над, либо разлагается в произведение неприводимых надмногочленов, причём это разложение единственно с точностью до ассоциированности и порядка следования сомножителей.