
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
Вариант 4
Решите уравнения в целых числах:
а)
б)
2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=3615,b=11905.
3. Докажите, что для любых целых чисел
,
если
делится на 23, то и
делится на 23.
4. Решите систему в натуральных числах:
5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему
общему знаменателю:
6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=54,а=3101238?
7. Докажите, что следующие числа не
могут быть простыми одновременно:.
8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 33.
9. Докажите иррациональность
действительного числа
,
если
.
10. Найдите все натуральные числа
такие, что:
а)
- различные простые числа;
б)
делится на 21 и
.
11. Переведите из одной системы счисления
в другую:
в восьмеричную.
12. Найдите остаток от деления
на
и выполните действия в указанной системе
счисления
.
13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(521); б) 0,208(7).
14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=4703,b=68413.
15. Укажите общую формулу целых чисел n,
для которых сократима дробь.
16. Найдите длину предпериода десятичной
дроби, в которую обращается обыкновенная
дробь
.
17. Решите уравнения в целых числах а)
;
б)
18. Найдётся ли на прямой 6х-28у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?
19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.
20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?
21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.
22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).
23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.
24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.
25. Найдите все простые числа p иqтакие, чтоp2-2q2=1.
26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.
27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.
28. При каком условии
делится на
?
29.Разделите
на
при а)
и б)
.
30. Вычислите
,
если
и
.
31. Многочлен
разложите по степеням
.
32. Разложите на множители с целыми
коэффициентами многочлен
.
33. Найдите все значения
,
при которых уравнение
имеет положительные корни.
34. Решите уравнение
методом Кардано.
35. Освободитесь от алгебраической
иррациональности в знаменателе
.
36. Найдите сумму кубов корней уравнения
.
37. Найдите все рациональные решения
уравнения
38. Решите систему
39. Разложите на множители с целыми
коэффициентами
.
40. Найдите по алгоритму все рациональные
корни многочлена
,
если
Вариант 5
1. Решите уравнения в целых числах:
а)
б)
2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1517,b=1443.
3. Докажите, что для любых целых чисел
,
если
делится на 19, то и
делится на 19.
4. Решите систему в натуральных числах:
5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему
общему знаменателю:
6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=33,а=1762323?
7. Докажите, что следующие числа не
могут быть простыми одновременно:
.
8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 18.
9. Докажите иррациональность
действительного числа
,
если
.
10. Найдите все натуральные числа
такие, что:
а)
- различные простые числа;
б)
делится на 6 и
.
11. Переведите из одной системы счисления
в другую:
в шестеричную.
12. Найдите остаток от деления
на
и выполните действия в указанной системе
счисления
.
13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(32); б) 0,53(17).
14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a иb, еслиa=3881,b=107113.
15. Укажите общую формулу целых чисел n,
для которых сократима дробь.
16. Найдите длину предпериода десятичной
дроби, в которую обращается обыкновенная
дробь
.
17. Решите уравнения в целых числах а)
;
б)
.
18. Найдётся ли на прямой 8х+2у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?
19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.
20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?
21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.
22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).
23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.
24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.
25. Найдите все простые числа pиq такие, чтоp2-2q2=1.
26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.
27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.
28. При каком условии
делится на
?
29.Разделите
на
при а)
и б)
.
30. Вычислите
,
если
и
.
31. Многочлен
разложите по степеням
.
32. Разложите на множители с целыми
коэффициентами многочлен
.
33. Известно, что уравнение
имеет два отрицательных корня. Докажите,
что
и
34. Решите уравнение
методом Кардано.
35. Освободитесь от алгебраической
иррациональности в знаменателе
.
36. Найдите сумму кубов корней уравнения
.
37. Найдите все рациональные решения
уравнения
.
38. Решите систему
39. Разложите на множители с целыми
коэффициентами
.
40. Найдите по алгоритму все рациональные
корни многочлена
,
если