Вариант 1

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1397,b=5951.

3. Докажите, что для любых целых чисел , еслиделится на 11, то иделится на 11.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=30,а=2457320?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно:.

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 12.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если.

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 14 и.

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в семеричную.

12. Найдите остаток от деления наи выполните действия в указанной системе счисления.

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(121); б) 0,21(5).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=4871,b=41323.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) б)

18. Найдётся ли на прямой 5х-25у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число n при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа pиqтакие, чтоp²-2q²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на?

29.Разделите напри а)и б).

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням.

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Каким условиям удовлетворяют числа и, если биквадратное уравнениеимеет четыре различных действительных корня?

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 2

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1443,b=1495.

3. Докажите, что для любых целых чисел , еслиделится на 13, то иделится на 13.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=18,а=2132766?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно:.

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 15.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если.

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 15 и.

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в шестеричную.

12. Найдите остаток от деления наи выполните действия в указанной системе счисления.

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(24); б) 0,031(12).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=3907,b=65231.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь

17. Решите уравнения в целых числах а) б)

18. Найдётся ли на прямой 3х-24у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа pиqтакие, чтоp²-2q²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на?

29.Разделите напри а)и б).

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням.

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Зная, что многочлен имеет корень, найдите остальные его корни.

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если