
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Краткие сведения из теории чисел
- •2. Наибольший общий делитель (нод). Алгоритм Евклида.
- •4.Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (нок).
- •5. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
- •7. Целые систематические числа.
- •8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
- •10. Решение уравненияв целых числах для целых чисел.
- •11. Признаки делимости.
- •Тема 2. Краткие сведения из алгебры многочленов
- •4. Деление с остатком в . Схема Горнера.
- •5. Наибольший общий делитель. Взаимная простота и неприводимость.
- •6. Многочлены над полем комплексных чисел .
- •7. Многочлены над полем действительных чисел.
- •8. Многочлены над полем рациональных чисел .
- •9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
- •10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
- •11. Симметрические многочлены и их применение.
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
Нахождение рациональных корней многочлена
с рациональными коэффициентами (
)
сводится к задаче о нахождении рациональных
корней многочлена с целыми коэффициентами,
так как
,
где
и любой корень многочлена
является корнем многочлена
и наоборот.
Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема 20.2.Пустьмногочлен
-й
степени с целыми коэффициентами (
).
Тогда несократимая рациональная дробь
(
-целое,
-натуральное
и
)
может быть корнем многочлена
только в том случае, когда выполняются
условия: 1)
⋮
,
2)
⋮
и 3)
⋮
для любого целого числа
.
Замечание.Если для некоторой
несократимой рациональной дробине выполняется хотя бы одно из трёх
условий теоремы, то эта дробь не является
корнем данного многочлена. Если же для
этой дроби выполняются условия 1) и 2) и
не находится целого числа
,
для которого условие 3) не выполняется,
то нужно эту дробь непосредственно
подставить в многочлен для проверки
условия
.
Количество несократимых рациональных
дробей с выполнением условий 1) и 2)
теоремы конечно. Значит, проверив их на
выполнение условия 3) частично и условия
,
можно за конечное число шагов найти все
рациональные корни данного многочлена.
Алгоритм нахождения рациональных
корней многочлена
.
Редукция от
к
.
Находим
многочлена
и все
и
такие, что 1)
⋮
, 2)
⋮
. Исключаем среди дробей
сократимые.
Находим
и
и проверяем выполнение условий
⋮
⋮(
.
Для некоторых целых чисел
находим значения
и проверяем выполнение условия
⋮
(пункты 3 и 4 нужны для отсеивания лишних претендентов на роль рациональных корней многочлена
).
Оставшиеся не отсеянными на роль корней дроби проверяем на выполнение условия
. Полученные корни и являются искомыми.
Пример 21. Найти рациональные корни
многочлена.
Данный многочлен имеет целые коэффициенты.
Имеем
.
Так как необходимо
⋮
,
⋮
,
то 6⋮
и 6⋮
.
Значит,
и
.
Поэтому
.
В этом множестве есть сократимые, т.е.
не взаимно простые дроби. При решении
их нужно исключить. Решение оформляем
в виде таблицы, в клеточках которой,
соответствующих дроби
,
ставим 0, если дробь является корнем
,
и
в противном случае. В нашей заготовке
сразу исключим из рассмотрения сократимые
дроби.
|
-1 |
1 |
-2 |
2 |
-3 |
3 |
-6 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
- |
- |
|
|
- |
- |
3 |
|
|
|
|
- |
- |
- |
- |
6 |
|
|
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Теперь только дроби, соответствующие
незаполненным клеточкам в таблице и
только они, могут быть рациональными
корнями многочлена
.
Вычисляем
по схеме Горнера.
|
6 |
5 |
-6 |
-6 |
-5 |
6 |
1 |
6 |
11 |
5 |
-1 |
-6 |
0 |
-1 |
6 |
-1 |
-5 |
-1 |
-4 |
10 |
Значит,
.
1 – корень
,
-1 не является корнем. Поэтому можно
проверять лишь выполнение условия
⋮
или 10⋮
.
Заметим, что дробь
не является корнем
,
так как для неё
и 10 не делится на 7. Аналогично исключаем
дроби:
.
Далее находим
:
|
6 |
5 |
-6 |
-6 |
-5 |
6 |
2 |
6 |
17 |
28 |
50 |
95 |
196 |
Итак,
и, используя свойство
⋮
,
исключаем дополнительно дроби:
.
Оставшиеся дроби
проверяем по схеме Горнера.
|
6 |
5 |
-6 |
-6 |
-5 |
6 |
-2 |
6 |
-7 |
8 |
-22 |
-39 |
≠0 |
-3 |
6 |
-13 |
33 |
-105 |
310 |
≠0 |
|
6 |
-4 |
0 |
-6 |
4 |
0 |
|
6 |
14 |
15 |
|
|
≠0 |
|
6 |
3 |
-7 |
|
|
≠0 |
|
6 |
9 |
0 |
-6 |
-9 |
0 |
Итак, рациональными корнями данного
многочлена
являются числа 1;
.