Вопросы задания

1.1. В некоторых случаях траектория частицы может иметь изломы. Приведите примеры таких движений. Что можно сказать о направлении скорости в точках излома? Какие допущения (или огрубления) действительных физических процессов мы принимаем?

1.2. Один автомобиль едет на восток со скоростью 40 км/ч, а другой – на север со скоростью 40 км/ч. Одинаковы ли их скорости?

1.3. Приведите примеры движения тела, при котором оно проходит большое расстояние, а перемещение его равно нулю?

1.4. Может ли вектор перемещения частицы, движущейся в двух измерениях, быть длиннее, чем путь, пройденный частицей за этот же промежуток времени?

1.5. На тренировке мальчик бросает мяч очень высоко, а затем бежит по прямой и ловит его. Чье перемещение больше – мальчика или мяча?

1.6. Если =₁+₂, будет ли обязательно а > а₁ и а > а₂?

1.7. Два гребца могут развивать одинаковую скорость. Они начали движение через реку одновременно. Один направился прямо к противоположному берегу и был снесен течением на некоторое расстояние. Другой направился через реку под некоторым углом и оказался на противоположном берегу точно напротив места старта. Какой из гребцов достиг противоположного берега первым?

Задачи

1.8 Автомобиль ехал из города А на восток в течение 2 ч с постоянной скоростью 60 км/ч. Повернув на юг, он прибыл в город В через 3 ч. С какой скоростью V ехал автомобиль на юг, если известно, что кратчайшее расстояние между городами А и В равно 150 км?

1.9 Автомобиль первые два часа двигался со скоростью 60 км/ч. Определить, с какой скоростью он двигался следующие два часа, если средняя скорость за всё время равна 40 км/ч. Какой путь прошел автомобиль?

1.10. Автобус треть пути шел со скоростью 20 км/ч, половину оставшегося пути – со скоростью 30 км/ч, а остальной путь – со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость на всем пути.

1.11. Пешеход сначала треть всего пути бежал со скоростью V₁ = 9 км/ч, затем треть всего времени шёл со скоростью V₂ = 4 км/ч, а оставшуюся часть пути шёл со скоростью, равной средней скорости на всём пути. Найдите эту скорость V_ср.

§ 1.2

Равноускоренное прямолинейное движение

Автор: – Начнем обсуждение самого простого неравномерного движения – движения с постоянным ускорением. Такое движение называют равноускоренным.

Рис. 1.2.1

График зависимости V(t) для этого случая показан на рис.1.2.1. Промежуток времени Δt в формуле (1.4) можно брать любой. Отношение ΔV/Δt от этого не зависит. Тогда ΔV=аΔt. Применяя эту формулу к промежутку от t_о = 0 до некоторого момента t, можно написать выражение для скорости:

V(t)=V₀ + at. (1.5)

Здесь V₀ – значение скорости при t_о = 0. Если направления скорости и ускорения противоположны, то говорят о равнозамедленном движении (рис. 1.2.2).

Рис. 1.2.2

При равнозамедленном движении аналогично получаем

V(t) = V₀ – at.

Разберём вывод формулы перемещения тела при равноускоренном движении. Заметим, что в этом случае перемещение и пройденный путь – одно и тоже число.

Рис.1.2.3

Рассмотрим малый промежуток времени Δt. Из определения средней скорости V_cp = ΔS/Δt можно найти пройденный путь ΔS = V_cpΔt. На рисунке видно, что путь ΔS численно равен площади прямоугольника с шириной Δt и высотой V_cp. Если промежуток времени Δt выбрать достаточно малым, средняя скорость на интервале Δt совпадет с мгновенной скоростью в средней точке. ΔS ≈ VΔt. Это соотношение тем точнее, чем меньше Δt. Разбивая полное время движения на такие малые интервалы и учитывая, что полный путь S складывается из путей, пройденных за эти интервалы, можно убедиться, что на графике скорости он численно равен площади трапеции:

S= ½·(V₀ + V)t,

подставляя (1.5), получим для равноускоренного движения:

S = V₀t + (at²/2) (1.6)

Для равнозамедленного движения перемещение L вычисляется так:

L= V₀t–(at²/2).

Разберем задачу 1.3.

Пусть график скорости имеет вид, изображенный на рис. 1.2.4. Нарисуйте качественно синхронные графики пути и ускорения от времени.

Студент: – Мне не приходилось встречаться с понятием «синхронные графики», я также не очень представляю, что значит «нарисовать качественно».

Автор: – Синхронные графики имеют одинаковые масштабы по оси абсцисс, на которой отложено время. Расположены графики один под другим. Удобны синхронные графики для сопоставления сразу нескольких параметров в один момент времени. В этой задаче мы будем изображать движение качественно, т. е. без учета конкретных числовых значений. Для нас вполне достаточно установить: убывает функция или возрастает, какой вид она имеет, есть ли у нее разрывы или изломы и т. д. Думаю, для начала нам следует рассуждать вместе.

Рис.1.2.4

Разделим все время движения на три промежутка ОВ, BD, DE. Скажите, какой характер носит движение на каждом из них и по какой формуле будем вычислять пройденный путь?

Студент: – На участке ОВ тело двигалось равноускоренно с нулевой начальной скоростью, поэтому формула для пути имеет вид:

S₁(t) = at²/2.

Ускорение можно найти, разделив изменение скорости, т.е. длину АВ, на промежуток времени ОВ.

Автор: – Хорошо. Теперь рассмотрите другие временные участки – ВD и DЕ.

Студент: – На участке ВD тело движется равномерно со скоростью V₀, приобретенной к концу участка ОВ. Формула пути – S = Vt. Ускорения нет.

Автор: – Следует уточнить, что равномерное движение началось не в начальный момент времени, а в какой-то t₁. К этому времени тело уже прошло путь at₁²/2. Кроме того, за начало отсчета времени необходимо взять момент t_1. Зависимость пути от времени имеет следующий вид:

S₂(t) = at₁²/2 + V₀(t– t₁ ).

Учитывая это пояснение, напишите формулу для пути на участке DE.

Студент: – На последнем участке движение равнозамедленное. Буду рассуждать так. До момента времени t₂ тело уже прошло расстояние S₂ = at₁²/2 + V(t₂– t₁ ).

К нему надо добавить выражение для равнозамедленного случая, учитывая, что время отсчитывается от значения t₂ получаем пройденный путь, за время t – t₂:

S₃=V₀(t–t₂)–[a₁(t–t₂)²]/2.

Предвижу вопрос о том, как найти ускорение a₁. Оно равно СD/DE. В итоге получаем путь, пройденный за время t>t₂

S (t)= at₁²/2+V₀(t–t₁)– [a₁(t–t₂)²]/2.

Автор: – Верно. Переходите к построению графиков.

Студент: – На первом участке имеем параболу с ветвями, направленными вверх. На втором – прямую, на последнем – тоже параболу, но с ветвями вниз.

Рис. 1.2.6

Автор: – Ваш рисунок имеет неточности. График пути не имеет изломов, т. е. параболы следует плавно сопрягать с прямой. Мы уже говорили, что скорость определяется тангенсом угла наклона касательной. По Вашему чертежу получается, что в момент t₁ скорость имеет сразу два значения. Если строить касательную слева, то скорость будет численно равна tgα, а если подходить к точке справа, то скорость равна tgβ. Но в нашем случае скорость – непрерывная функция. Противоречие снимается, если график построить так.

Рис. 1.2.7

Есть еще одно полезное соотношение между S, a, V и V₀. Будем предполагать, что движение происходит в одну сторону. В этом случае перемещение тела от начальной точки совпадает с пройденным путём. Используя (1.5), выразите время t и исключите его из равенства (1.6). Так Вы получите эту формулу.

Студент: – V(t) = V₀ + at , значит,

t = (V– V₀ )/a,

S = V₀t + at²/2 = V₀(V– V₀ )/a + a[(V– V₀ )/a]² = .

Окончательно имеем:

S=. (1.6а)

История.

Однажды во время обучения в Геттингене Нильс Бор плохо подготовился к коллоквиуму, и его выступление оказалось слабым. Бор, однако, не пал духом и в заключение с улыбкой сказал:

– Я выслушал здесь столько плохих выступлений, что прошу рассматривать моё как месть.

Вопросы и задания

2.1. Каким образом пройденный путь может равняться площади, ограниченной графиком скорости? Ведь путь измеряется в метрах, а площадь – в квадратных метрах.

2.2. Чем равнозамедленное движение отличается от равноускоренного?

2.3. Может ли тело в один и тот же момент времени иметь равную нулю скорость, а ускорение – отличное от нуля? Приведите пример. А наоборот?

2.4. Может ли в какой-то системе отсчета скорость тела быть отрицательной, а ускорение положительным? А наоборот?

2.5. Приведите пример движения, когда скорость и ускорения отрицательны.

2.6. Ускорение свободного падения на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле. Сравните высоту подъема тела, брошенного вертикально вверх со скоростью V, на Земле и на Луне.

2.7. Брошенный вертикально мяч вернулся к студенту. Какая часть пути займёт большее время – вверх или вниз? Дайте ответ для случаев а) отсутствия трения о воздух, б) с учётом сопротивления воздуха. Пояснение: ускорение, вызванное трением о воздух, всегда противоположно направлению скорости тела.

2.8. Если сопротивление воздуха мало, то тело, брошенное вертикально вверх, возвращается в исходное положение с той же скоростью, что и в начале. Как изменится ситуация при наличии сопротивления воздуха?

2.9. Шарик запускают вертикально вверх. Он достигает одной максимальной высоты Н в двух разных ситуациях: а) в безвоздушной камере; б) в атмосфере. Сравнить время подъема шарика на высоту Н в случаях а) и б).

Задачи

2.10. На рисунке дан график скорости прямолинейно движущегося тела. Найдите путь, пройденный телом 1) за первые 2 с, 2) за последние 5 с. Кроме того, посчитайте среднюю скорость за весь период движения, равный 8 с.

2

.11. График скорости имеет вид, изображенный на рисунке;t₁ = 2c, t₂ = 4c, t₃ = 6c. Нарисуйте схематически зависимость ускорения от времени. Найдите среднюю скорость V_ср в случаях: а) за первые четыре секунды; б) за все время движения, т. е. за шесть секунд. В какие моменты времени τ мгновенная скорость совпадает со средней скоростью, вычисленной за все время движения?

2.12. Сначала частица покоилась. Потом в течение времени t₁ = 2 с она двигалась равноускоренно с ускорением a₁ = 2 м/с², затем равнозамедленно с ускорением |a₂| = 0,5 м/с². Найти полное время движения Т до остановки, пройденный при этом путь и среднюю скорость за время Т. Кроме того, найдите среднее ускорение а_ср за промежуток времени от 0 до Т/2.

2.13. Тело движется с постоянным ускорением. Скорость его в момент времени t₁ = 5 с равна V₁ = 3 м/с, а в момент времени t₂ = 6 с мгновенная скорость тела равна нулю. Определить скорость V₀ тела в момент t = 0 и путь S, пройденный телом в промежутке от t = 0 до t = t₂.

§ 1.3